1.  Answer the following questions.

a)  Given below is an annual data for 12 years. Estimate trend-cycle component of the series using a single 3-period moving average (3 MA) and a 3-term weighted moving average (3 WMA) with weights of 0.25, 0.5, and 0.25.

(4 marks)

Write formulae used to estimate irregular component ( ) for an annual time series data (additive and multiplicative trend).

(1 mark) (Total: 5 marks)

2.  The following tables give estimated coefficients for three regression models. Y denotes the monthly temperature (in Celsius) series. T represents time trend (T = 1, 2, 3,  …,  192).  Di’s are seasonal dummies where  D1=1 for January and 0 otherwise, and D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10, D11 and D12 are similarly defined for February, March until December, respectively.

Model 1

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Sample: 2000M01 2015M12

Included observations: 192

Model 2

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Sample: 2000M01 2015M12

Included observations: 192

a)  What estimates are given by the twelve coefficients of Model 1? (1 mark)

b)  In between Model 1 and Model 2, which one should be used? Why? (2 marks)

c)  Based on Model 1, perform a seasonal variation test at 5% significance level. State the null and alternative hypotheses of the test. (4 marks)

d)  Given  below  are  out-sample  (January  2016  –  December  2016)  forecast accuracy measures produced by Model 1. Interpret test set MAPE, ACF1 and Theil’s U values.

3.  The following time  series  plot  represents  monthly  data  of  rainfall  amount  (in millimeters) in Malaysia for the period of 16 years (January 2000 – December 2015).

a)  Evaluate and discuss the results of ADF and KPSS tests given below. Given that seasonal variation  is present, decide whether seasonal differencing is needed before any ARMA or ARIMA model can be estimated for the above series.

Null Hypothesis: RAINFALL has a unit root

Exogenous: Constant

Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=14)

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Null Hypothesis: RAINFALL has a unit root

Exogenous: Constant, Linear Trend

Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=14)

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Null Hypothesis: RAINFALL is stationary

Exogenous: Constant

Bandwidth: 1 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel

*Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)

Null Hypothesis: RAINFALL is stationary

Exogenous: Constant, Linear Trend

Bandwidth: 1 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel

*Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)

(2 marks)

b)  Inspect correlograms of the series given below. Based on your finding in (a), propose two ARMA  or  ARIMA  models  for  the  given  series  and  give justifications.

* Partial autocorrelations beyond lag 36 are all insignificant.

* Partial autocorrelations beyond lag 36 are all insignificant.

(5 marks)

c)  By looking at the time plot of the series, can you decide whether the proposed models should include a constant term or not?

(0.5 mark) (Total: 7.5 marks)

4.  The following time series plot represents monthly data of temperature (in Celcius) in Malaysia for the period of 16 years (January 2000 – December 2015).

a)  Evaluate  and  discuss  the  results  of  ADF  and  KPSS  tests  given  below. Assuming  that  seasonal  variation  is  present,  decide  whether  seasonal differencing is needed before any ARMA or ARIMA model can be estimated for the above series.

Null Hypothesis: TEMPERATURE has a unit root

Exogenous: Constant

Lag Length: 13 (Automatic - based on SIC, maxlag=14)

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Null Hypothesis: TEMPERATURE has a unit root

Exogenous: Constant, Linear Trend

Lag Length: 13 (Automatic - based on SIC, maxlag=14)

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Null Hypothesis: TEMPERATURE is stationary

Exogenous: Constant

Bandwidth: 4 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel

*Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)

Null Hypothesis: TEMPERATURE is stationary

Exogenous: Constant, Linear Trend

Bandwidth: 4 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel

*Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1) (2 marks)

b)  Inspect correlograms of the series given below. Based on your finding in (a), propose two ARMA  or  ARIMA  models  for  the  given  series  and  give justifications.

* Partial autocorrelations beyond lag 36 are all insignificant.

* Partial autocorrelations beyond lag 36 are all insignificant. (5 marks)

c)  By looking at the time plot of the series, can you decide whether the proposed models should include a constant term or not?

(0.5 mark) (Total: 7.5 marks)

5.  Given below is estimation results of an ARIMA model for a monthly time series data, Y.

Dependent Variable: D(Y,0,12)

Method: ARMA Conditional Least Squares (Marquardt - EViews legacy)

Sample: 2000M01 2015M12

Included observations: 192

a)  Does the estimated process is covariance stationary? Explain. (1 mark)

b)  Does the estimated process is invertible? Explain. (1 mark)

c)  Write the model in terms of the backshift operator and without backshift operator. (3 marks)