1.  [15 marks]

(a)  Suppose B is a 3 × 4 matrix with rank k .

i. Is it possible that the equation Bx = b has a unique solution?

ii. What would the columns of B look like if k = 0?

iii. What would the columns of B look like if k = 1?

iv. If null(B) is a (1-dimensional) line in R4 , what does col(B) look like?

v.  Give a geometric description of null(B) and col(B) when k = 2.

(b)  Let A =  -;

'2   1   -3'.

i.  Give a basis for the null space of A.

ii. Find a vector v e R3 such that v e\ col(A). You must justify your answer.

iii. Prove that for any u e R3 , if the vectors Ae1 , Ae2 , and u are linearly dependent then u e col(A)

iv. Find a basis for the subspace in R3  of vectors v such that Av = v.

v. Find an invertible matrix P such that AP = PD for some diagonal matrix D, or show explain why no such matrix exists.

2.  [12 marks]

 -1;   -1;                            --1;   -0;

Let U = span  '''''' , '''''' and V = span  '''11-1''' , '''''' in R4 .

(a)  Show that U and V are orthogonal complements.

(b) Find an orthogonal basis for V .

(c)  Compute proj↓ (e1 ) and proj↓ (e4 ).

(d)  Suppose C is the 4 × 4 matrix representing the linear map L  :  R4   → R4 determined by L(x) = proj↓ (x). You do not need to compute C .

i.  C has eigenvalues λ = 0, 1. What are the corresponding eigenspaces?

ii. Is C symmetric?

(e)  Suppose  C\   is the 4 × 4 matrix representing the  linear map sending x to 3projU (x). Is C + C\  invertible? Justify your answer.

3.  [10 marks]

Consider the inner product space V = c[0, 1] of continuous real valued functions defined on the closed interval [0, 1], with inner product given by

(f, g) = |0 1 f (x)g(x)dx .

Let f0 (x) = 1, f1 (x) = x in V .

(a) Find the magnitude of f0 (x).

(b) Find the orthogonal projection of f1 (x) onto f0 (x).

(c) Find a function h(x) e V that is orthogonal to f0 (x).

(d) Let W = span{f0 (x), f1 (x)} c V .

i. Find an orthogonal basis of W .

ii. Why is the map L : W → W defined by L(g(x)) = g\ (x) a linear map?

iii. Write down the matrix of L with respect to a basis of W (make sure to state the basis you are using!).

4.  [10 marks]

Determine whether the following statements are true or false.  Give a justification for your answer.

(a) If two nonzero vectors in an inner product space are orthogonal, then they are linearly independent.

(b) If the vectors v1 , v2 , v3  are linearly dependent, then one of them is a scalar multiple of another.

(c) If A is an m × n matrix of rank m, then AT A is invertible.

(d)  Suppose λ = 0 is an eigenvalue of the square matrix B .  Then the equation Bx = 0 has infinitely many solutions.

(e)  Suppose A is the 2×3 matrix A =    ! – !'(-)

i. e1  lies in the row space of A.

ii.  – !1(1) lies in the column space of A.

iii. 36 is an eigenvalue of AT A.

(f) Linear algebra is useful and interesting.

0

1/,2

1/,2

1/2 ;

-1/,2'.