Question 1 (30 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from the Pareto distribution with pdf

f (x|θ) = 

where θ > 1 is unknown.

(a) Find the Method of Moments Estimator (MME) of θ .

(b) Show that T =      log Xi  is complete and sufficient for θ .

(c) Find E9(T ← 1 ), where T =      log Xi . Hint:  the pdf of Gamma(r, λ) is f(x|r, λ) = ,  

where r is  the shape parameter, λ is  the scale parameter,  and Γ(r) =   0尸 xr ← 1 e ←z dx is the gamma function.

Find the UMVUE of θ .

(e) Find a uniformly most powerful (UMP) test of size α for testing

H0  :  θ < θ0     versus   H1  :  θ > θ0 ,

where θ0  > 0 is a fixed real number. (Use quantiles of chi-square distributions to express the test)

(f) Find a confidence interval for θ with confidence coefficient 1 _ α by pivoting a random variable based on T =      log Xi. (Use quantiles of chi-square distributions to express the confidence interval and use an equal-tailed confidence interval)

(g) Find a confidence interval for θ with confidence coefficient 1 _ α by pivoting the cdf of X(1) = min{X1, . . . , Xn}.  (Use an equal-tailed confidence interval)

Question 2 (20 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from a population with pdf

f (x|θ, λ) = 

where θ e 戊 and λ > 0 are both unknown.

(a)  Prove that     (Xi _ X(1)) and X(1)  are independent for any (θ, λ). You may assume that X(1)  is complete and sufficient for θ for any fixed λ .

Find a sufficient statistic for (θ, λ) and prove its sufficiency.

(c) Find the maximum likelihood estimator (MLE) of (θ, λ).  Hint:  the first step  would be maximizing the likelihood function for any fixed λ

(d) Find a likelihood ratio test (LRT) of size α for testing

H0  :  λ = λ0     versus   H1  :  λ  λ0 ,

where λ0  > 0 is a fixed real number. (Use quantiles of chi-square distributions to express the test) Hint:  you may use the fact that      (Xi _ X(1)) ~ Gamma(n _ 1, λ)

Question 3 (6 marks)

Mention whether the following statements are true or false.  Prove it if you think it is true, otherwise provide a counterexample.

(i) Every function of a sufficient statistic is sufficient.

(ii) Every sufficient statistic is complete.

(iii) Unbiased estimator of any parameter is unique.

Question 4 (6 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from Uniform[_θ, θ], θ > 0.  Find the Maximum Likelihood Estimator (MLE) of θ .

Question 5 (6 marks)

A statistic is ancillary for a parameter θ if its distribution does not depend on θ.  Let X1, . . . , Xn  be i.i.d. from a scale parameter family with cdf F (x/σ), σ > 0 and density 口(1)f (z口), where f (.) is not a function of σ. Let X(1), . . . , X(n) be the order statistics. Show that X(n)/X(1)  is ancillary for σ .

Question 6 (6 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from Poisson(λ), λ > 0. Find the uniformly mini- mum variance unbiased estimator (UMVUE) of exp(aλ), where a is a fixed real number. You may assume T =      Xi  is complete and sufficient for λ . Hint: if Y1 , Y2  are inde- pendent and Yi ~ Poisson(λi), then Y1+Y2 ~ Poisson(λ1 +λ2 ).  Also, ifX ~ Poisson(λ), then EA(bx ) = e(b ← 1)A, where b is a fixed real number.

Question 7 (6 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from a population with pdf

f (x|θ) = 

where θ > 0. Find a most powerful test (MPT) for testing

H0  :  θ = θ0     versus   H1  :  θ = θ 1 ,

where θ0  and θ 1  are fixed real numbers satisfy 0 < θ0  < θ 1 .