Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Semester 1 Mock Exam, 2022

MAST90082 Mathematical Statistics

Question 1 (30 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from the Pareto distribution with pdf

f (x|θ) = where θ > 1 is unknown.

(a) Find the Method of Moments Estimator (MME) of θ .

(b) Show that T = log Xi  is complete and suﬃcient for θ .

(c) Find E9(T  1 ), where T = log Xi . Hint:  the pdf of Gamma(r, λ) is f(x|r, λ) = ,  where r is  the shape parameter, λ is  the scale parameter,  and Γ(r) =   0 xr 1 e z dx is the gamma function. Find the UMVUE of θ .

(e) Find a uniformly most powerful (UMP) test of size α for testing

H0  :  θ < θ0     versus   H1  :  θ > θ0 ,

where θ0  > 0 is a ﬁxed real number. (Use quantiles of chi-square distributions to express the test)

(f) Find a conﬁdence interval for θ with conﬁdence coeﬃcient 1 _ α by pivoting a random variable based on T = log Xi. (Use quantiles of chi-square distributions to express the conﬁdence interval and use an equal-tailed conﬁdence interval)

(g) Find a conﬁdence interval for θ with conﬁdence coeﬃcient 1 _ α by pivoting the cdf of X(1) = min{X1, . . . , Xn}.  (Use an equal-tailed conﬁdence interval)

Question 2 (20 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from a population with pdf

f (x|θλ) = where θ e 戊 and λ > 0 are both unknown.

(a)  Prove that (Xi _ X(1)) and X(1)  are independent for any (θ, λ). You may assume that X(1)  is complete and suﬃcient for θ for any ﬁxed λ . Find a suﬃcient statistic for (θ, λ) and prove its suﬃciency.

(c) Find the maximum likelihood estimator (MLE) of (θ, λ).  Hint:  the ﬁrst step  would be maximizing the likelihood function for any ﬁxed λ

(d) Find a likelihood ratio test (LRT) of size α for testing

H0  :  λ = λ0     versus   H1  :  λ λ0 ,

where λ0  > 0 is a ﬁxed real number. (Use quantiles of chi-square distributions to express the test) Hint:  you may use the fact that (Xi _ X(1)) ~ Gamma(n _ 1, λ)

Question 3 (6 marks)

Mention whether the following statements are true or false.  Prove it if you think it is true, otherwise provide a counterexample.

(i) Every function of a sucient statistic is sucient.

(ii) Every suﬃcient statistic is complete.

(iii) Unbiased estimator of any parameter is unique.

Question 4 (6 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from Uniform[_θ, θ], θ > 0.  Find the Maximum Likelihood Estimator (MLE) of θ .

Question 5 (6 marks)

A statistic is ancillary for a parameter θ if its distribution does not depend on θ.  Let X1, . . . , Xn  be i.i.d. from a scale parameter family with cdf F (x/σ), σ > 0 and density 口(1)f (z), where f (.) is not a function of σ. Let X(1), . . . , X(n) be the order statistics. Show that X(n)/X(1)  is ancillary for σ .

Question 6 (6 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from Poisson(λ), λ > 0. Find the uniformly mini- mum variance unbiased estimator (UMVUE) of exp(aλ), where a is a ﬁxed real number. You may assume T = Xi  is complete and suﬃcient for λ . Hint: if Y1 , Y2  are inde- pendent and Yi ~ Poisson(λi), then Y1+Y2 ~ Poisson(λ1 +λ2 ).  Also, ifX ~ Poisson(λ), then EA(bx ) = e(b  1)A, where b is a ﬁxed real number.

Question 7 (6 marks)

Let X1, . . . , Xn  be a random sample from a population with pdf

f (x|θ) = where θ > 0. Find a most powerful test (MPT) for testing

H0  :  θ = θ0     versus   H1  :  θ = θ 1 ,

where θ0  and θ 1  are ﬁxed real numbers satisfy 0 < θ0  < θ 1 .