SECTION A

1.          Briefly state the concept and importance of THREE of the following terms:

a)          Central Limit Theorem

b)           Power of a test

c)           Likelihood Ratio test

d)          Omitted variable bias

(25 marks)

SECTION B

2.          Explain what is meant when it is said that a time series is (i) weakly stationary, (ii) ergodic, and (iii) invertible.

(5 marks)

(b)         Explain what is meant by Wold decomposition theorem. Briefly discuss the

importance of this theorem for the modelling of macroeconomic and financial time series.

(5 marks)

(c)         Consider the following two processes

i)       =  +  1   − 1  +  − 2  +   )     =  +  − 1  +   +  1   − 1

where  is white noise error, state the conditions under which the two             processes are weakly stationary; state the conditions under which the second process is invertible.

(5 marks)

(d)         Derive the mean, variance, autocovariance and autocorrelation of the ARMA(1,1) process defined in (c) ii) above.

(10 marks)

3.          Consider the autoregressive model   = 1.8 + 0.9 − 1  +  where  is iid N(0, 4)

(a)         What is the unconditional mean of   ? What is the unconditional distribution

of   ?

(5 marks)

(b)         If   = 20, what is the one-step-ahead forecast of  +1? what is the one-step-

ahead  conditional  distribution  of   +1  ?    What  is  the  one-step  ahead  95% prediction confidence  interval?

(10 marks)

(c)         if   = 20, what is the five-step-ahead forecast of  +5?

(5 marks)

(d)        Give the definition of Root Mean Squared Error (RMSE)? Suppose model 1 is an  AR(1) and model 2 is an  ARMA(1,1) , the RMSE of model 1 is bigger than the RMSE of model 2. Interpret the result.

(5 marks)

4.          Suppose we are estimating a model for the return on a bond    of the AR-GARCH form,

  =  +  − 1  +   ,     ~ 0, ℎ 

ℎ  =  + − 1  +  ℎ − 1

where  ℎ  =  − 1 (  )2     is  the  conditional  variance  of      and  ℎ   which  follows  a

(a)         What is stationarity condition for the process of   ? What is the stationarity

condition for the process of ℎ ?

(5 marks)

(b)         Assuming the stationarity conditions are satisfied, what are the values of the

following quantities?

(i)           ( +1)     (ii)            ( +1).  (iii)         (  +1) (iv)         ( +1)

(v)            ( +1)

(10 marks)

(c)         (i)          If you believed that the variance of    affects the return on the bond, how would you adapt the GARCH model to allow for this?

(ii)         If  you  suspected  the  leverage  effect,  i.e.  an  unexpected  price  drop

increases volatility more than an analogous unexpected price increase, is present in the bond return series, how would you adapt the GARCH model to allow for this?

(5 marks)

(d)         If  you  were  investigating  a  model  such  as  the  capital  asset  pricing  model which  uses the  covariance  between the  market  return    and the  bond return   ,  how could the GARCH model be extended to allow for this case?

(5 marks)

5.          Answer the following questions

(a)        A time series  follows the process ,

  =  +   − 1  +  

where   is a white noise error. Given an initial condition  0 , find the solution for    , indicating any deterministic or stochastic trend components.

(5 marks)

(b)         Describe the  following  time  series  processes:  1)  trend  stationary  model  2)

difference stationary model. Why must we distinguish between them?

(5 marks)

(c)         What is the purpose of the Dickey Fuller test? Describe this test, and how you would apply it in practice. How does the Augmented Dickey Fuller test differ and when is it more appropriate?

(10 marks)

(d)         Explain   why   it   is   important   to   explore   the   time   series   properties   of macroeconomic  variables  as  a  first  step  in  empirical  work.  Why  is  visual inspection not sufficient?

(5 marks)

6.          For two nonstationary I(1) time series sequences    and   , t=1,2,…,T, where T is a large number, answer the following questions:

(a)         After removing the time trends from the two processes (if there exists any),

do you expect their graphs to have any particular patterns? Why?

(7 marks)

(b)         If  the  two  processes  are  cointegrated,  what  is  the  economic  implication

therein?

(8 marks)

(c)         How can one test whether xt  and yt are cointegrated? Would the test statistic follow any standard distribution? If not, design a Monte Carlo experiment to obtain the proper asymptotic critical values?

(10 marks)

Consider the VAR model

 2.   =  2  + 21 1, − 1  + 22 2,  − 1  +  2,

where   = (  1,  2)'  and (    ' ) =  , a positive definite matrix.

(a)         Explain the essential difference between the single equation and the vector

autoregressive approaches to model.

(6 marks)

(a)         Define Granger Causality and explain what condition is needed for   1,   not to

Granger cause 2, .  How do you test this condition?

(7 marks)

(b)        Suppose  1,    is the inflation and  2,   is the interest rate, the figure below is

the   impulse   response   function   of   inflation   and   interest   rate   system. Comment briefly on this Impulse Response Function.

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