Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECO 3145:  Spring/Summer 2022

Quiz 3

I) For each question, choose the correct answer.                                 1 × 5 = 5 marks

Let f and g be functions deﬁned on Rn  and c a real number. Consider the following two problems, Problem 1: min f (x) and Problem 2: min f (x)  subject to  g(x) = c.

1. Any solution of problem 1 is also a solution of problem 2. True or false?

2. If Problem 1 does not have a solution, then Problem 2 does not have a solution. True or false? 3. Problem 2 is equivalent to max - f (x)  subject to   - g(x) = -c. True or false?

4. In Problem 2, quasi-convexity of f is a suﬃcient condition for a point satisfying the ﬁrst-order conditions to be a global minimum. True or false?

5.  Consider the function f (x1 , x2 ) = ln(x1 ) - x2 . f is

a) quasiconcave and quasiconvex                              b) quasiconvex

c) quasiconcave                                                           d) no correct answer

II)  Consider the problem of a consumer who must choose between two types of goods, good 1 (x1 ) and good 2 (x2 ) costing respectively p1  and p2  per unit. He is endowed with an income m and has a quasi-concave utility function u deﬁned by u(x1 , x2 ) =

2 ln(x1 )＋5 ln(x2 ).

1. Write down the problem of the consumer.                                            1 mark

2. Determine the optimal choice of good 1 and good 2, x1(x)  = x1 (p1 , p2 , m) and x2(x) = x2 (p1 , p2 , m).                                                                                 2 marks

3. By how much will the consumer’s utility change if his income increases by 1 unit.                                                                                                        1 mark

4. Find the optimal amounts of good 1 and good 2 the consumer will choose if p1 = 2, p2 = 5 and m = 25.                                                                       1 mark

III)  Consider the optimization problem of the objective function f (x, y) = x2＋y2 - 3xy＋1 subject to -x＋3y - 4 = 0.

1. Write down the Lagrangian function and the rst-order conditions.    1 mark

2. Determine the stationary points.                                                         2 marks

3. Does the stationary point represent a local maximum or a local minimum? Justify your answer.                                                                             2 marks