12.9    (a)  EU = 0.1>10, 000 + 0.9>1, 000, 000 = 910.

(b)  ÷1, 000, 000 _ p = 910.  This says the largest amount p he would pay for full in- surance is such that his utility with full insurance is just equal to expected utility without it. In other words, he is just indifferent to paying $p for full insurance.

(c)  p = 1, 000, 000 _ 9102  = 171, 900.

12.2    (a)  (cF , cNF ) = ($50, 000, $500, 000).

(b)  cF  = 50, 000 + 0.9x; cNF  = 500, 000 _ 0.1x.

(c) One way to do this is to write 0.1x = 500, 000 _ cNF hence 0.9x = 4, 500, 000 _ 9cNF , and use this to substitute for 0.9x in the expression for cF . (The aim is to eliminate x leaving an expression involving cF , cNF  and constants only.)  This gives cF   = 4, 550, 000 _ 9cNF , or 0.1cF + 0.9cNF  = 455, 000.

(To see why this is a sensible normalisation of the budget, notice that the right-hand side is exactly the expected value of the gamble he faces when uninsured.)

(d) From the equation of the budget constraint we can see that its slope is dcNF /dcF  = _0.1/0.9 = _1/9. The tangency equation says this should equal the given expres- sion for the MRS, implying that >cNF />cF = 1 and hence cNF /cF  = 1.

(e) Solving the tangency and budget equations gives cF  = cNF  = 455, 000.  Using ei- ther of the equations in (b) gives x = 450, 000 (full insurance), and the cost of this insurance will be 0.1x = 45, 000.

Remark: If you have a keen eye for detail you may have noticed that the expression for utility given in 12.9 was the utility of an individual payoff, whereas the expression given in 12.2 is the expected utility of the entire gamble. To go with this distinction there is also a subtle difference

in notation: the utility of an individual payoff is denoted by a lowercase u as in u (c).  The expected utility of a gamble is denoted by an uppercase U, as in U (c1, c2, X1), where X1 is the

probability of state 1 and it is implicit that the probability of state 2 is X2  = 1 _ X1 .

38.6  The values referred to in this question are values to buyers, and you can assume that the value to sellers is $0 such that the sellers would always be willing to sell their cars at any price.

(a) Given that the distribution of values is uniform between $0 and $2,000, the expected value of a car of unknown value is simply $1,000.  Thus if none of the cars were appraised, buyers would be willing to pay $1,000 for any car. Given that there are 1,000 cars in total, the total revenue would be $1,000,000.

(b) If all cars worth more than $X are appraised, and ones worth less than $X are not, then the quality of the unappraised cars would be uniform between $0 and $X. The expected value of an unappraised car would thus be $X/2, and this is also the amount that buyers would be willing to pay for an unappraised car.

(c) A car that is appraised can be sold for its true value. If this value is $X (the cutoff value in (b) above), and the cost of appraisal is $200, then the net proceeds of selling this car with appraisal is $ (X _ 200). On the other hand, if the car is sold without appraisal it is pooled with the other unappraised cars and sells for $X/2.

(d) The seller of the marginal car is just indifferent between having his car appraised or not when $X/2 = $ (X _ 200), which solves for $X = $400.

(e) In equilibrium, cars with a value (to buyers) of up to $400 are sold unappraised at a price of $200. Cars with a value of greater than $400 are sold appraised at their true value to buyers.

38.2    (a) The expected marginal product of a worker of unknown ability is (0.5 _ $10) + (0.5 _ $15) = $12.50.

(b) If employers assume that all workers with a microeconomics education are of high ability, and all workers without the education are of low ability, then they would be willing to pay $15 for an educated worker, and $10 for an uneducated worker.

(c) The net benefit to a worker of completing the education is the increase in wages of $15 _ $10  =  $5, less the cost (in this case disutility) of the education.  For a high-ability worker, this net benefit is $5 _ $3  = $2.  For a low-ability worker, it is $5 _ $6  =  _$1.  Since the net benefit is positive for high-ability workers, but negative for low-ability ones, then the microeconomics education is worthwhile for high- but not low-ability workers.  In that case, the beliefs of the employers in (b) above are confirmed, and so there will indeed exist a separating equilibrium.

(d) As above for part (b).

(e) Now the net benefit of a microeconomics education is $5 _ $1 = $4 for high-ability workers, and $5 _ $4 = $1 for low-ability workers. Since this is positive for both types, they would both find it worthwhile to complete the education.  But in that case, employers would not be willing to pay $5 more for an educated worker, and so there will not exist any separating equilibrium of this type.