Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECOS2001

Intermediate Microeconomics

Tutorial Solutions for Week 4

9.3

 

The utility function is a transformation of v (a, b) = a0.5 b0.5, the Cobb-Douglas function that gives equal weight to both goods. Then we know that she spends half her income on each good so the demand functions are a = m/2pa and b = m/2pb(where m is the market value of endowments at the respective prices). So you can get all the answers below by simply plugging the appropriate values of pa, pb, m into these demand functions.

(b) The market value of endowments is 100 + (2 x 200) = 500, so the budget constraint is a + 2b = 500. The MRS is -MUa/MUb  = -b/a and the slope of the budget line is -pa/pb  = -1/2 so the tangency condition is b/a = 1/2 or a = 2b. Solving the budget and tangency equations simultaneously gives a* = 250 and b* = 125.

(c) She buys 250 - 100 = 150 units of a, and sells 200 - 125 = 75 units of b. (Note that each has a market value of 150.)

(e) The new budget constraint is a + b = 300, and the new tangency condition is b/a = 1. These solve for a*  = b*  = 150. Hence consumption of b rises by 25 units, while consumption of a decreases by 100 units.

(f) Before the price fall she could sell her endowment for 500. So we have a + b = 500 and b/a = 1, which solve for a* = b* = 250.

(g) In the former case, the fall in pB makes her poorer because she is a net seller of good B whose price has fallen. In the latter case, her income doesn’t change.

 

Before the price change she found it optimal to consume exactly at the endowment. To consume less of good 1 than before she would have to switch to being a net seller of good 1 after its price falls. Here are two distinct arguments for why this will never be the case:

• All bundles that involve selling good 1 at the new prices lie strictly within the orig- inal budget at the old prices (the segment of the blue budget to the left of e lies inside the black budget.) This means she could have chosen any of those bundles before the pricefell but did not, instead preferring e. (We say e is “revealed preferred” to these bundles.) Since her original choice e is still affordable at the new budget, she will not now choose any of these bundles, which she previously rejected in favour of e. (This is an application of the Weak Axiom of Revealed Preference”, or WARP.)

• Given no kinks in indifference curves and an interior optimum (positive amounts of both goods), at the old prices we had a tangency with lMRS2 1 l = p1 /p2. Then after a fall in p1, at e we would now have lMRS2 1 l > p1 /p2. In words: the amount of x2  she is willing to give up for an extra unit of x1  (lMRSl) exceeds the amount she has to give up at the new prices. So after the price change she is no longer at a tangency, thus no longer at a utility maximum. She attains a higher utility than at e by consuming more of x1 (becoming a net buyer of good 1) and less of x2 .

Geeks only: The first argument made no assumptions on preferences to reach a weaker conclusion (never become a net seller); the second made stronger assumptions (strict convexity) to reach a stronger conclusion (definitely become a net buyer).

 

(a)  PV = $2, 000 + $1, 100/ (1 + r) = $3, 000. FV = $2, 000 (1 + r) + $1, 100 = $3, 300. (b)  MRS = -  = -C2/C1 .

(c) Slope of budget line is - (1 + r)  =  -1.1.   Tangency equation is C2/C1   =  1.1. (Present value) budget constraint is C1 + C2/1.1 = 3, 000.

(d) Solving the tangency and budget equations gives C1  = 1, 500 and C2  = 1, 650. (e) Save 500.

(f) Since he was initially saving, we know for sure he will not borrow after the interest rate increases: Any bundle he can afford by borrowing he could also afford at the original interest rate (squiggly bit lies within blue budget).  But instead he chose A. Since A is still affordable at the new budget, he will not choose any of the squiggled out bundles instead. (This is the same reasoning as the first answer for 9.4 above.)

(g) The new tangency equation is C2/C1   =  1.2, and the new present value budget constraint is C1 + C2/1.2  = 2, 000 + 1, 100/1.2  = 2, 916.6˙ .  These solve for C1   = 1, 458.3˙ and C2  = 1, 750.

(h) Save 541.6˙ .

10.4   (a) False: An increase in the interest rate makes current consumption relatively more expensive, so the substitution effect goes in the direction of consuming less today (saving more). But for a saver, an increase in the interest rate represents an increase in purchasing power (the budget set expands in the region where you are saving). So if current consumption is a normal good, the income effect goes in the direction of consuming more today (saving less). Either effect could dominate.

(b) True: For an increase in the interest rate, the substitution effect goes in the direction of consuming more in future. For a saver, it also represents an increase in purchasing power, so if future consumption is a normal good the income effect also goes in the direction consuming more in future. Both effects go in the same direction.

12.11   (a) EU = 0.5 10, 000 + 0.5 100 = 55. (b) u (4, 900) = 4, 900 = 70.

(c) The certainty equivalent is the amount of money which, if received for certain, would make you just indifferent to taking the lottery:

u (CE)    =   0.5 x + 0.5 y

CE   =   0.5 x + 0.5 y

CE   =   0.5 │x + 0.5 y2

(d) u (CE) = 0.5 10, 000 + 0.5 100 = 55, so CE = 552 = 3025.