1. The demand functions given in Lecture 2 are:

x1 (p1, p2, m) =      and     x2 (p1, p2, m) =  Then  =  so income elasticity for good 1 is:

1                     m           

n1  = p1 + 2p2  . m/ (p1 + 2p2 ) = 1

and n2  = 1 similarly. (Since these are positive, both x1 and x2 are normal goods.) To find cross-price elasticities note first that  = - . Then:

2m                       p2                                 2p2      

e12  = - (p1 + 2p2 )2  . m/ (p1 + 2p2 ) = - p1 + 2p2

and e21  = -  similarly.  (Since these are negative, x1  is a gross complement to x2 and vice-versa.)

8.1

To begin, note that the utility function is a Cobb-Douglas function with equal exponents on both goods. We thus know that he will spend equal shares of his budget on each good and so the demand functions are xA (pA, pB, m) = m/2pA and xB (pA, pB, m) = m/2pB .

(a) Substitute the original prices pA  = 1, pB  = 2 and income m = 40 into the demand functions to find xA  = 20 and xB  = 10.

(b) At the new prices, the cost of the original bundle in (a) would be $30. Substitute the new prices pA  = 1, pB  = 1 and this (hypothetical) level of income m = 30 into the demand functions to find xA  = 15 and xB  = 15.

(c) The substitution effect is the movement from A to B, i.e. the effect of pivoting the budget constraint holding purchasing power fixed at point A. Its effect on the con- sumption of bananas is to increase xB by five units (from 10 to 15).

(d) At the new prices and actual income of m = 40, he would consume xA  = 20 and xB  = 20. The blue line is parallel to the red one, since both reflect the new prices.

(e) The income effect is the movement from B to C, i.e. effect of increasing purchasing power holding prices fixed at the new level.  Since the price of bananas fell by $1 and he initially consumed 10 bananas, this is equvalent to an increase in his income of $10 (the difference between his actual income of $40 and the $30 he would need to continue to purchase bundle A at the new prices, as found in (b)). The income effect increases consumption of bananas by a further five units (from 15 to 20). Thus bananas are a normal good, as can also be seen from the demand function for xB .

(f) The substitution effect decreases consumption of apples by five from 20 to 15. The income effect increases consumption of apples by five, from 15 to 20 (so apples are also a normal good). The total effect on the demand for apples is thus zero. This is consistent with the fact that the demand function for xA is independent of pB .

8.4 In this example, since the two goods are one-for-one perfect substitutes, she will usually be at a corner solution where she spends all of her income on whichever good is cheaper (and none on the one that is more expensive).

(a) Since pH  = 5 > pD  = 4 there is initially a corner solution at xH  = 0 and xD  = m/4. Now note that there is a fall in the price of the good that was intially already cheaper, so there is a new corner solution at xH   = 0 and xD   = m/3.  To decompose the substitution and income effects, we adjust the consumer’s budget such that she can exactly afford the initial bundle at the new prices (the required budget would be m). But at this budget she would choose to remain at the initial bundle xH  = 0 and xD  = m/4 (because pD  ← pH still) and so the substitution effect is zero. The change in demand for xD in this case is due entirely to the income effect.

(b-e) In this case there is a fall in the price of the good that was initially more expensive, such that after the price fall it becomes the cheaper good.  This means that she would switch from one corner solution (bundle A, with xH  = 0 and xD  = 30) to the oppo- site corner (bundle B, with xH  = 40 and xD  = 0). Note that at the new prices, the cost of the original bundle A has not changed (since she was initially not consuming any of xH, the cost of that bundle is unaffected by a change in pH ). Since A contin- ues to be exactly affordable there was no change in the consumer’s purchasing power (no need to parallel shift the new budget line to bring it back to A). This means that the change in demand for xH in this case is entirely due to the substitution effect.

8.5 All income effect. If the consumer’s budget were adjusted so she could exactly afford her initial bundle A at the new prices she would choose to remain at A since it contains the two goods in the correct proportions. See Figure on next page for the case of a fall in p1 .