General remark: In 5.3 and 5.7 you are given numerical values of the prices and income, and can thus solve for numerical values of the quantities demanded. By contrast in 6.2 and 6.6 you will treat the prices and income as parameters, and thus solve for demand functions (quantities demanded as functions of the parameters).

5.3

(a) The equation of the indifference curve that gives a utility of 20 is x2  = 20 – 4_x1 . Other points that lie on this curve include (16, 4), (9, 8), (4, 12), (1, 16) and (0, 20).

(b) The marginal rate of substitution is –   =  – .  Then, given the prices, the “tangency condition” for utility maximisation (assuming an interior solution) is   = , which solves for x1  = 16.  (Notice that because the utility function is quasilinear, the MRS does not depend on x2 .  As a result, the tangency condition directly gives us the solution for x1 .)

(c) The equation of the budget constraint is x1 + 2x2  = 24. So given x1  = 16 from (b), we find x2  = 4.

(d) Now you are asked to draw the indifference curve x2  = 25 – 4_x1. Notice this will be “vertically parallel” to the one you drew before: it will intersect the vertical axis at 25 instead of 20, and will everywhere be exactly five units above the indifference curve in part (a).

(e) Since the prices did not change, the tangency condition is exactly as before and again solves for x1  = 16. Then from the new budget constraint x2  = 9. (The point to note is that an increase in income is spent entirely on x2 .  This makes sense given that quasilinear indifference curves are vertically parallel, while an increase in income also shifts the budget line out in parallel: the new point of tangency will be vertically in line with the old one.)

(f) Since MRS = –2/_x1, the slope of the indifference curve through (9, 0) is –2/3.

(g) The slope of the budget line is – p1 /p2  = – 1/2.

(h) In absolute terms, the indifference curve is steeper.

(i) No. (Intuitively, the amount of x2 he would be willing to give up for an extra unit of x1 exceeds the amount he would have to give up at market prices. But since he is already at x2  = 0, this is no longer possible. If you tried to solve for a tangency solution you would get a negative answer for x2 from the budget equation, but this is clearly not feasible.)

5.7

(a) Since U (3, 3) = 12 the equation of the blue indifference curve is x + 3y = 12, or y = 4 – x/3. The equation of the black curve is x + 3y = 6, or y = 2 – x/3. Since the marginal utility of y is three times as great as that of x, he is only willing to give up 1/3 of a unit of y to gain an extra unit of x. Hence the slopes of the indifference curves are – 1/3 .

(b) The equation of the budget line is x + 2y = 8, or y = 4 – x/2. Since the price of y is twice that of x, he would have to give up 1/2 a unit of y to gain an extra one of x. Since his preferences are such that he is only willing to give up 1/3 of a unit, he is unwilling to do so and thus maximises utility at the corner solution where x = 0 and y = 4.

(c) At the new price of y the budget line is x + 4y = 8, or y = 2 – x/4.  At the new prices, he now only has to give up 1/4 of a unit of y to gain one more of x. Since he is willing to give up more than this amount, he will maximise utility at the corner where x = 8 and y = 0.

6.2    (a)  MRS = –  = –  = –   .

(b) The slopes of the indifference curve and budget line are equal when –   = –  , or equivalently   =  .  Substituting p2 x2   =  p1 x1  into the budget equation gives x1  =  , so he spends  of his income on x1 . Finally, x2  =   .

(c)  MRS  =  –   =  –  .  At a tangency, –    =  – , or p2 x2   =  p1 x1 . Substituting into the budget gives p1 x1  = m, or x1  =  , so the share of income spent on x1 is . Finally, x2  =  x1  =   .