Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Semester 1 2009

MATH2061: Linear Mathematics and Vector Calculus

SECTION A: Linear Mathematics

Use separate writing booklets for sections A and B.

1.   (a) Complete the following definition:

The set of vectors {v1 , v2 , . . . , vn } in a vector space V is a linearly

independent set if ..................

(b) Determine whether or not W  =   1 # ,   # ,   #$ is a linearly independent set in R3 .

(c) Let A =      2    1   4 .

(i) Find the null space of A.

(ii) What is the dimension of the column space of A?

(d) Show that the set X  =   # R3  | x 2y +5z = 3$ is not closed

under addition.

(e) The set Y =   # R3  | x +2y 4z = 0$ is a subspace of R3 . Find

a basis for Y .

2.   (a) Let X = {(2(2) )} ∈ R2 . Give a geometric description of Span(X).

(b)

Let A = )1(2)   0(3)* .

(i) Find the eigenvalues of A.

(ii) Find a matrix P and a diagonal matrix D such that A = PDP 1 . (iii) Find A20 .

(iv) Find a formula, in terms of n, for xn  if

xn+2  = 2xn+1 +3xn , with x0  = 0 and x1  = 4.

3.   (a) Let M =  1   1 .

(i) Find the eigenspace of M corresponding to the eigenvalue 1.

for all ( y(x) ) ∈ R2 .

Which straight lines through the origin in R2  are xed by T?

(b)

Let v1  =  1  and    v2  = 4(3) .

(i) Explain why {v1 , v2 } is a basis for R2 .

(ii) Write (0(1) ) as a linear combination of v1  and v2 .

(iii) Suppose that S : R2  → R2  is a linear transformation, and S(v1 ) = (5(3) ) and S(v2 ) = ( 2 ). Find S ((0(1) )).

(c) Let X = {f ∈ F | f(x) = A + Bex ,    A,B ∈ R}.

Determine whether or not X is a subspace of F. Justify your answer.

(d) Dene a function g : R3  R by g ""  ## = x + y for all "  # R3 . Is g a linear transformation? Justify your answer.

4.   (a) Let L =  00(3)5        be the Leslie matrix for a particular species of insect.

Find the unique positive eigenvalue of L, and a corresponding eigen- vector.

(b) Let Y = {p1 ,p2 ,p3 } be a subset of P3 , with p1 (x) = x2, p2 (x) = x3 x

(i) Show that Y is a linearly independent set. (ii) Is Y a basis for P3 ? Justify your answer.

(c)   (i) Suppose λ 1  and λ2  are two different eigenvalues of a matrix A, and that v1  and v2  are corresponding eigenvectors.

Prove that there is no real number α such that v1  = αv2 .

(ii) Prove that any three eigenvectors v1 , v2 , v3 corresponding to three distinct eigenvalues λ 1 , λ2 , λ3  of a matrix A are linearly indepen- dent.

 

SECTION B: Vector Calculus

Use separate writing booklets for sections A and B.

1.   (a) Let F = (x 3z)i +(x + y + z)j +(x 3y) k.

(i) Calculate ∇× F.

(ii) Is F a conservative eld? Give a reason for your answer.

(iii) Evaluate  +C F · d r,  where  C  is the straight line segment  from

(1, 0, 0) to (1, 2, 1).

(b) G = 3x2 i +2yz j + y2 k is a conservative vector eld.

(i) Find a potential function for G.

(ii) Hence (or otherwise) find the work done by G along the curve with vector equation r(t) = ti +2 j + t2 k for t : 0 → 1.

2.   (a) Evaluate

++R (4y2 5x)dA

where R is the triangular region bounded by the x-axis and the lines x = 1 and y = x.

(b) Hence (or otherwise) find the work done by the force field F = (x2 +5xy)i +4xy2 j

in moving a particle from the origin along the boundary of the region in part (a) taken once in an anticlockwise direction.

(c) Use polar coordinates to evaluate

+2(2) +0 4y2 (x2 + y2 )3/2 dxdy .

3.   (a) Let S be the section of the sphere x2 + y2 + z2  = 1 in the rst octant, bounded by the planes y = 0 and y = x.  Find the ux of F = z2 k across S in the outward direction.

(b) The solid half-cylinder x2  + y2   =  1, y  ≥ 0, 0  ≤ z  ≤ 2 has density (1 + x2 + y2 )1  at any point (x, y, z). Calculate its mass.

4.   (a) Let F = x3 i + y3j + zk.

Use the Divergence Theorem to calculate the ux of F outwards across the closed surface bounded by x2 + y2  = 1, z = 0 and z = x +2.

(b) Evaluate 0 1 x 1 xey3  dy dx.

(c) Given

F = (2x + sin yz)i +(2y + xz cosyz)j +(y2 +2z + xy cosyz)k,

evaluate C F . dr where C is the curve C consisting of the straight

line segment from  (0, 0, 0) to  (0, 1, 0), followed by the quarter circle y2 +z2  = 1 from (0, 1, 0) to (0, 0, 1), followed by the straight line segment from (0, 0, 1) to (0, 0, 0).