Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STAT 3004:  Probability Models and Stochastic Processes

Final Exam, Semester 1, 2021

1.  [8 Marks]  Let (sn . n = 0. 1. 2. 7 7 7 ) be a branching process with s0  = 1 and with offspring distribution X ~ Bin(2. p) for some p ∈ (0. 1); that is,

(X = z) =   z(2)px (1 - p)2 x .        z = 0. 1. 2 7

(a) Determine the probability generating function (pgf) of X, namely r(2) = 匝2X  for 2 ∈ [0. 1].

(b) Determine explicit expressions for the mean and variance of sn

as a function of p, and determine through p when the process is sub-critical, critical, and super-critical.

(c) Determine the probability of ultimate extinction, denoted by 1 , as a function of p.

2.  [8 Marks]  Let X = (Xn . n = 0. 1. 7 7 7 ) be a Markov chain with state- space E = n1. 2. 3}, initial distribution 一(0)  = (1. 0. 0), and one-step

transition matrix

P =   0(0) 

1

0

1

4

1(0)   7

(a) Draw the transition diagram for this Markov chain.

(b) Find the three distinct eigenvalues 71 . 72 . 73  of P.

(c) Determine matrices R1 . R2 . R3  so that Pn  =     i(3)=1 7i(n)Ri , for

n = 0. 1. 7 7 7 .

(d)  Calculate the probability that X3  = 1.

(e) Find the unique stationary (and limiting) distribution of the chain.

3.  [8 Marks]  An ant is in search of food, which appears on the floor ac- cording to a homogeneous spatial Poisson process with rate of 2 points per square meter.

(a) What is the probability that the ant finds n items of food within

a radius of r meters?

(b) What is the expected number and variance of the number of items

of food found by the ant within a radius of r meters?

(c) For 0 π s π r , m ∈ n0. 1. 7 7 7 . n}, and n ∈ n0. 1. 2. 7 7 7 }, determine the probability of m items of food being within radius s, given n items of food are within radius r.   Identify this as a known distribution.


4.  [8 Marks]  Consider n machines maintained by a single machine repair robot.   Each machine has an exponentially distributed lifetime with mean 2 weeks (i.e., before it fails).  The machine repair robot begins work immediately when a machine fails, and works in the order that the machines have failed in the case of multiple machines failing. The ma- chine repair robot takes an exponentially distributed amount of time, with mean 2 days, to repair any machine.  Initially, all the machines are working.

(a) Formulate a continuous-time Markov chain model for the problem

which counts the number of failed machines, specifying the state space E, the initial distribution 一(0) , and the Q-matrix Q.

(b) Draw the corresponding transition rate diagram.

(c) What is the long-run probability that no machines are under re- pair?

(d)  Suppose one machine has failed and is under repair. What is the probability that the machine repair robot fixes the machine before another machine fails?

5.  [8 Marks]   Consider an abstract probability space (Ω . e. 贮).  Answer the following questions.

(a) Let A and B be two disjoint subsets of Ω. Write down the smallest

A-algebra containing A and B .

(b) Let X1 . X2 . 7 7 7 be independent random variables on (Ω . e. 贮) with Xn  ~ Ber(1/n). Does Xn a-s-.. 0 as n - o? Prove or disprove this.

(c) Let e1 . e2 . 7 7 7 . en  be a collection of A-algebras on Ω.  Show that the collection r defined by r  =  gk(n)=1ek   is also a A-algebra of subsets of Ω.