Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATHS302 Assignment 3

1. Without using the odd order theorem or the pa qb  theorem (which we have not proved) show that groups of these orders are not simple.

(a)  |G| = 45

(b)  |G| = 55

(c)  |G| = 70

(d)  |G| = 75

(e)  |G| = 196

2. An automorphism of a group G is an isomorphism π  :  G  -→ G from G to itself.  Prove that the set of all automorphisms of a finite group G with the operation of function composition forms a finite group denoted Aut(G), the automorphism group of G.

3. Describe Aut(Zp ), the automorphism group of the cyclic group Zp  where p is

prime. In particular find the order of this group.

(Hint: A generator must map to another generator)

4. A subgroup is called characteristic if it is invariant under all automorphisms. We write H char G if θ(h)  e H for all h  e H and θ  e Aut(G).   We may think of this as being a stronger type of normality. Prove that a characteristic subgroup is normal and give a counterexample to show that a normal subgroup need not be characteristic.

Hint: In an abelian group all subgroups are normal. Are they call characteris- tic?

5. If K char H 4 G prove that K 4 G.

6.  Show that if a Sylow P subgroup is normal then it is characteristic.

7. If M is a proper subgroup of G we call it maximal if M  < X  < G implies X = M or X = G. The Frattini subgroup of a group G is defined to be the intersection of all the maximal subgroups.

(a) Prove that the Frattini subgroup Fratt(G) is characteristic in G.

(b) If H < G and H.Fratt(G) = G show that H = G.  (Hint: If H < G then there is a maximal subgroup M with H < M)

8. If N 4 G and both G and G/N are soluble, show that G is soluble.

9.  Give a counterexample to show that this is not true if yuo replace the word ”soluble” with ”nilpotent. That is show that if G and G/N are both nilpotent then it need not be the case that G is nilpotent.

10. Prove that [G, N] < N 兮 N 4 G.