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QBUS2310 Practice Final Exam

Semester 1, 2022

1.  (10 points)  Formulate a linear programming model for

x(mi)n    |c1(⊤)x| + d⊤x

s.t.    ∥x∥∞ + 2∥x∥1  ≤ b.

2.  (10 points)  Consider a minimum cost network flow problem over a network.  A feasible solution is shown below, where the number on each edge represents xij .

What are the supplies at each node (i.e., what are the bi )?

3.  (10 points)  Suppose that your optimization model has a variable y which is equal to the product of two variables y = xz, where x is continuous and z is integer. Furthermore, you have the following bounds on x and z:

−10 ≤ x ≤ 10

−2 ≤ z ≤ 4.

Note that since z is integer, this implies that z can only take on values −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Formulate linear constraints which capture the relationship y = xz .

Hint:  introduce binary variables wi  ∈ {0, 1} which indicates whether z = i or not. Then z = Pi(4)= −2 i · wi .

4.  (20 points)  Seven types of packages are to be delivered.  and there are three packages of each type.  (This means that there are 21 packages in total.)

Five trucks will be used to deliver the packages, with capacities 6, 5, 4, 4 and 3 packages.

Describe a maximum flow problem that can be used to determine whether the packages can be delivered with the trucks, subject to the requirement that each truck may only deliver at most one package of each type.

5.  (20 points)  The Lotus Point Condo Project will contain up to 10,000 dwelling units. Each unit is either a house or an apartment. The project must contain a recreation project: either a swimming–tennis complex or a sailboat marina, but not both.

If a marina is built, then the number of houses in the project must be at least triple the number of apartments in the project. A marina will cost $1.2 million, and a swimming–tennis complex will cost $2.8 million. The developers believe that each apartment will sell for $48,000, and each house will sell for $46,000. Each house or apartment costs $40,000 to build.

Formulate an IP to help Lotus Point maximize profits.