1.  (10 points)  Consider a function f given by

f (x) = coshx + cos x _ γ,

where γ is a parameter and takes the values of γ = 0, 1, 2, 3.  Make a graph of the function f (x) for each value of γ on the interval [_3, 3] and determine whether f (x) has a root.  To do so, you have to check the criteria required by the Intermediate Value Theorem. Then, using the file “bisect.m”, approximate the root with absolute tolerance 10-10  for the value of γ that f (x) does have a root. Include a copy of the graph of f (x) for the respective cases and MATLAB output.

2. Assume the following fixed point iterations x首+1  = g(x首 ): (a)  (8 points) x首+1  = _16 + 6x首 +  with x*  = 2,         (b)  (9 points) x首+1  = x首 +  with x*  = 31/3 ,

(c)  (8 points) x首+1  =  with x*  = 3,

where x*  corresponds to the respective fixed point.

Then, which of the above iterations will converge to the fixed point x*  indicated above, provided that x0  s x* , i.e., the initial iterate x0  is sufficiently close to x* ? If it does converge, then find the order of convergence.

Hint:  You need to use the definition of the rate of convergence where you must exam- ine the derivatives of g(x) at x* .  Furthermore, make sure to check that x*  is indeed a fixed point!

3.  (20 points) Using the m-file “fixed point.m”, find the three roots of ez _ 2x2  = 0,

with |x首+1 _ x首 | < 10-10  as a convergence criterion. Note that plotting will help here. Furthermore, explain your choices for the g(x) utilized in order to ensure convergence.