Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STAT4528:  Probability and Martingale Theory

1.      (a)       (i)   Deﬁne sets of real numbers as follows.  Let An  =  (一 , 1] if n is odd, and

An = (一1, ] if n is even. Find lim supnAn  and lim infnAn .

(ii)   Show that if An t A of An l A then lim infnAn = lim supnAn = A.

(b)   Show that if µ is a ﬁnite measure, there cannot be uncountably many disjoint sets

A such that µ(A) > 0.

(c)  Let f be a Borel measurable function from R to R and a e R, and deﬁne g(x) = f(x + a). Show that

fdλ =      hdλ

R                   R

in the sense that if one integral exists, so does the other, and the two are equal. (Start with indicators.)

2.     (a)  Let f and g be extended real-valued Borel measurable functions on (Ω , r), and

deﬁne

h(ω) = where A is a set in r. Show that h is Borel measurable.

(b)  Let X1, X2 , ... be an i.i.d sequence such that E(lX1l) < o. Show that X1X2 + X2X3 + ... + XnXn+1 E(X1X2)

as n goes to inﬁnity.

3.  Let Xn, n = 1, 2, . . ., and Y be random variables deﬁned on a common probability space

( , r, P). We assume that Xn, n  1 are independent and such that

P (lXnl ≤ C) = 1,    and   EXn = 0,    n = 1, 2, . . .

where C > 0 is a constant.

Let gm = σ (Xn, n ≤ m) and go = σ (Xn, n ≥ 1).

(a)   Show that lim  E (Y l gm) = E (Y l go ) ,    P 一 a.s.

(b)  Assuming that Y is gm-measurable for a certain m ≥ 1, and such that ElY l < o,

show that lim E (XnY) = 0 .

(c)  Using (2) or otherwise, show that no

for arbitrary Y such that ElY l < o.

4.  Let εn, n ≥ 1 be a sequence of independent and identically distributed random variables, such that Eεn  = 0 and Eεn(2)  < o.  Let xn n ≥ be sequence of real numbers.  Consider a linear regression problem

Yn = axn + on,    n ≥ 1,

where a is an unknown slope parameter and Yn  are observations.  It is well known that that the Least Squares Estimator n  based on the rst n observations Y1, . . . , Yn  takes the form                                                        n

(a)  Identify a martingale (Mn) such that

(M）n  ,

where (M）n  denotes the predictable quadratic variation of the martingale (Mn). Note, that you need to specify the ﬁltration as well.

(b)   Show that n  converges to a limit P-a.s.

(c)   Show that lim n = a,    P 一 a.s.

if and only if

o

xn(2) = o .

n=1

(d)  Let εn, n ≥ 1 be a sequence of independent and identically distributed random variables, such that Eεn = 0 and Elεnl < o. Is still the statement in (c) correct?