QUESTION 1

Write about a quarter of a page each on any FOUR of the following topics. (Clearly state if you agree or disagree with each statement. No marks will be given without any justification.)

(a) Prediction intervals are unnecessary because managers just want point forecasts.

(b) Whether we use a naïve approach, a decomposition, ETS or ARIMA models for forecasting, we always need to transform our data.

(c)  Simple exponential smoothing should only be used for a series with a constant underlying level.

(d) All three information criteria: AIC, AICc and BIC are useful and they can potentially choose a diferent model. We prefer to use the AICc forecasting.

(e) The 95% prediction interval for an h-step-ahead naïve forecast is given by yˆT +h± 1.96′hσ2 .

(f) Regression models are not useful for forecasting because we always need to provide forecasts of the predictors.

 QUESTION 2

Figure 1shows the total household expenditure for cigarette and tobacco consumption (CTC) in Victoria. The prices are represented as a chain volume measure (a representation of constant prices) in billions of dollars over the period 1985Q3–2017Q4.

Cigarettes and tobacco consumption total household expenditure for Victoria

2.5

2.0

1.5

2010

Cigarettes and tobacco total household expenditure for Victoria

2.5

2.0

1.5

Q1

Q2

Q3

Q4

Quarter

Figure 2:

(a) Describe the CTC series. Explain in detail what is plotted in Figures 1and 2.

(b) Do you think transforming this series will help? Why? Figure 3shows two possible transfor-

mations. Describe what you see and which one you would prefer to use.

(c) Figure 4 shows the forecasts generated from the stlf() function with the argument lambda=0. Describe what this function does and how the forecasts are generated.

Forecasts from STL +  ETS(A,A,N)

2.5

2.0

1.5

1.0

2020

Time

Figure 4:

level

(d) You are asked to provide forecasts for the next two years for the CTC series shown in Figure 1. Consider applying each of the methods and models below. Comment, in a few words each, on whether each one is appropriate for forecasting the data. No marks will be given for simply guessing whether a method or a model is appropriate without justifying your choice.

A.  Seasonal naïve method.

B. Drift method plus seasonal dummies.

C. Holt’s trend method.

D. Holt-Winters    multiplicative    damped trend method.

E. ETS(A,A,M).

F. ETS(M,Ad,M).

G. ARIMA(0,1,4).

H. ARIMA(3,1,2)(1,1,0)4 .

I. ARIMA(0,0,1)(2,0,0)4 .

J. Regression model with time and Fourier terms.

QUESTION 3

The following R code and output concerns two models for CTC (Cigarette and tobacco consumption) in Victoria.

fit1.ets  <-  ets (CTC)

fit1.ets

##  ETS(M,N,M)

##

##  Call:

##    ets(y  =  CTC)

##

##      Smoothing  parameters:

##           alpha  =  0.709

##           gamma  =  0.291

##

##       Initial  states:

##           l  =  2.5802

##           s=0.9818  0.9801  1.0598  0.9783

##

##       sigma:    0.0308

##

##             AIC           AICc             BIC

##  -111.048  -110.130     -90.975

fit2.ets  <-  ets (CTC,  lambda  =  0 )

fit2.ets

##  ETS(A,A,A)

##

##  Call:

##    ets(y  =  CTC,  lambda  =  0)

##

##      Box-Cox  transformation:  lambda=  0

##

##      Smoothing  parameters:

##           alpha  =  0.5083

##           beta    =  1e-04

##           gamma  =  0.4536

##

##       Initial  states:

##           l  =  0.9583

##           b  =  -0.0063

##           s=-0.0017  -0.0154  0.056  -0.039

##

##       sigma:    0.0309

##

##           AIC        AICc           BIC

##  -261.45  -259.95  -235.64

(a) Comment on the diferences between the two specifications, the models selected and the estimated parameters for each of the estimated models.

 

(b) Comment on Figure 5and how this relates to your answers above.

2.4

2.0

1.6

1.2 1.05

1.00

0.95

0.90 1.00

0.75

0.50

0.25

−0.00623 −0.00624 −0.00625 −0.00626 −0.00627 −0.00628

0.10

0.05

0.00

−0.05

2010

Time

Figure 5:

(c) Write down in full the estimated ETS model for fit1.ets.

(d) The output below and Figure 6relate to the residuals from fit1.ets. Comment on these in relation to the fit of the model. Give as many details as you can. What do your conclusions

here imply about using the model for forecasting?

checkresiduals (fit1.ets)

Figure 6:

##

##         Ljung-Box  test

##

##  data:    Residuals  from  ETS(M,N,M)

##  Q*  =  14.7,  df  =  3,  p-value  =  0.0021

##

##  Model  df:  6.      Total  lags  used:  9

(e) Use the output below to generate 2, 4 and 8-step-ahead forecasts. In row t, l=et , s1=st , . . . , s4=st-3 .

fit1.ets[["states"]]  %>%  tail()

##           ##  2016 ##  2016 ##  2017 ##  2017 ##  2017 ##  2017

Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4

l 1.2802 1.2613 1.2707 1.2755 1.2756 1.2404

s1 0.92029 0.96256 0.92862 0.91493 0.92033 0.95164

s2 0.91352 0.92029 0.96256 0.92862 0.91493 0.92033

s3 0.92579 0.91352 0.92029 0.96256 0.92862 0.91493

s4 0.96841 0.92579 0.91352 0.92029 0.96256 0.92862   3 marks

(f) Forecasts can be generated using fit2.ets  %>%  forecast(biasadj=TRUE). Comment on how biasadj=TRUE may be useful for this model.

QUESTION 4

(a) Figure 7shows four sets of ACFs and PACFs for the CTC (cigarettes and tobacco consumption) series of Victoria plotted in Figure 1. Explain what each of these show about the stationarity, seasonality and other features of the time series.

Figure 7:

 (b) Use the relevant ACFs and PACFs from Figure 7to specify an appropriate ARIMA model with both seasonal and first diferencing.

(c) The following R code and output concerns a model for the CTC series.  Write down the estimated model using backshift notation and expand this to the point where it can be used

to generate point forecasts.

auto.arima (CTC,  lambda  =  0 )

##  Series:  CTC

##  ARIMA(1,0,0)(1,1,0)[4]  with  drift

##  Box  Cox  transformation:  lambda=  0

##

##  Coefficients:

##                    ar1         sar1      drift

##               0.766     -0.378     -0.006

##  s.e.    0.060      0.084      0.002

##

##  sigma^2  estimated  as  0.000912:    log  likelihood=263.13

##  AIC=-518.26      AICc=-517.93      BIC=-506.91

(d) The last few values of the series are

##               Qtr1    Qtr2    Qtr3    Qtr4

##  2015  1.248  1.229  1.253  1.263

##  2016  1.207  1.191  1.178  1.214

##  2017  1.180  1.167  1.174  1.180

Use the above model to calculate a forecast and a 95% prediction interval for 2018 Q1.

(e) The autoregressive coefcient of an AR(1) model yt = φyt-1 + ε T where εt ~ N (0, σ2 ) needs to be between -1 and 1 for the process to be stationary. Is this statement true or false. Justify your answer.

QUESTION 5

In the following code, a series of dynamic regression models are fitted to the CTC data. tt  <-  time (CTC)

t.break1  <-  1990

t.break2  <-  1996

t.break3  <-  2000

t1  <-  pmax(0 ,tt -t.break1)

t2  <-  pmax(0 ,tt -t.break2)

t3  <-  pmax(0 ,tt -t.break3)

X123  <-  cbind (tt,t1,t2,t3)

X23  <-  cbind (tt,t2,t3)

X13  <-  cbind (tt,t1,t3)

X12  <-  cbind (tt,t1,t2)

X1  <-  cbind (tt,t1)

X2  <-  cbind (tt,t2)

X3  <-  cbind (tt,t3)

X  <-    cbind(tt)

fit123  <-  auto.arima (CTC,  xreg=X123,  lambda=0 )

fit23  <-  auto.arima (CTC,  xreg=X23,  lambda=0 )

fit13  <-  auto.arima (CTC,  xreg=X13,  lambda=0 )

fit12  <-  auto.arima (CTC,  xreg=X12,  lambda=0 )

fit1  <-  auto.arima (CTC,  xreg=X1,  lambda=0 )

fit2  <-  auto.arima (CTC,  xreg=X2,  lambda=0 )

fit3  <-  auto.arima (CTC,  xreg=X3,  lambda=0 )

fit  <-  auto.arima (CTC,  xreg=X,  lambda=0 )

AIC(fit123),AIC(fit23),AIC(fit13),AIC(fit12),

AIC(fit1),AIC(fit2),AIC(fit3),AIC(fit))

##   [1]  -551.66  -531.59  -532.36  -544.69  -533.20  -530.12  -528.20  -530.20

##  Series:  CTC

##  Regression  with  ARIMA(1,0,0)(1,0,1)[4]  errors

##  Box  Cox  transformation:  lambda=  0

##

##  Coefficients:

##                      ar1         sar1           sma1           tt               t1             t2               t3

##               0.5466    0.9546     -0.4459    5e-04     -0.0701    0.0806     -0.0364

##  s.e.    0.0742    0.0230      0.0904    1e-04      0.0076    0.0133      0.0112

##

##  sigma^2  estimated  as  0.0007467:    log  likelihood=283.83

##  AIC=-551.66      AICc=-550.47      BIC=-528.72

(a) Explain the process used in this code to select the final model, and write down the equations for the model.

(b) How could this approach be generalized to choose the number and position of knots automat-

ically? What problems do you imagine could happen when using such an algorithm?

(c) When producing forecasts using this model, what assumptions are you making about the piecewise linear trend? How does this compare with fitting a similar ETS model?

(d) Why is it better to use a seasonal ARIMA model here rather than Fourier terms to handle the seasonality in the data?

(e) Forecasts from the model are shown in Figure 8. Do you think they look reasonable? Explain.

Forecasts from Regression with ARIMA(1,0,0)(1,0,1)[4] errors

2.5

2.0

1.5

1.02020

Time

Figure 8:

level