Use R for all calculations. Provide copies of your code in the assignment.

Q. 1) Consider the model

yi = θ 1 − θ2e−θ3xi + εi,                 1 ≤ i ≤ n.

This  is  called  the  Mitcherlich  equation,  and  it  is  often  used  in  chemical engineering. For example, yi may be yield and xi may be reaction time.

(a)   Is this a nonlinear regression model?

(b)  Graph the expectation function for the parameter values θ 1 = 0.5,θ2 =

−0. 1 and θ3 = 0. 1. Discuss the shape of the function.

(c)   Graph the expectation function for the parameter values θ 1 = 0.5,θ2 = 0. 1 and θ3 = 0. 1. Discuss the shape of the function. Compare the shape with the shape in part (b).

(d)  The file

chlorine.table

contains  the  fraction  of active  chlorine  in  a  chemical  product  as  a function   of  time   after   manufacturing.   Plot  the   data   and   fit  the Mitcherlich law to the data, including the fitted curve on the original plot.

(e)   Provide approximate confidence intervals for the parameters.

Q. 2) Consider the one-sample problem: Yi ∼ N(µ,σ2), 1 ≤ i ≤ n with the Yi’s i.i.d. The MLE is of course

.

If  we   constrain   |µ|2    ≤   C  and  transform  the   problem  to   a   penalized minimization problem we had to solve

n

µbλ = argminX(Yi − µ)2 + λµ2.

µ i=1

(a)   Find a design matrix X such that

µ = (XtX)−1Xt Y.

b

(b)  Show that

(c)   Find a design matrix X(λ) and a data vector Y (λ) such that

µbλ = (X(λ)tX(λ))−1X(λ)t Y (λ).

(Hint: Y (λ) will generally have to be of length n + 1 or greater – i.e. you need to add an observation to the original Y , as well as an entry to the original X.)

(d)  Generalize this to the constrained regression problem for a vector of non-negative constraints λ = (λ0,...,λp−1).

(e)  Write a function in R that takes two arguments, one the output of lm, the other a vector λ of length p as above and returnsHint:

the function model.matrix will likely be useful).

Q. 3) Consider the viral load data from Assignment # 2 found at

vl.table

(a)  As it seems that the variance of viral load depends on their GSS, use

weighted least squares  (WLS) with appropriately chosen weights to refit the model. Has this improved the diagnostic plots for this model? (Hint: you will have to use the Pearson residuals

√     

ri = (Yi −Ybi)∗ wi for the diagnostic plots. The diagnostic plots can also help you choose appropriate weights.

(b)  Does this significantly affect the results compared to ordinary least

squares  (OLS), in terms of confidence intervals, or p-values? Report both the “weighted” and “unweighted” confidence intervals. Which do you feel are more accurate?

Q. 4) A marketing research firm was engaged by an automibile manufacturer to conduct a pilot study to examine the feasibility of using logistic regression for ascertaining the likelihood that a family will purchase a new car during the next year. A random sample of 33 suburban families was selected. Data an annual family income and the current age of the oldest family automobile were obtained. A follow-up interview conducted 12 months later was used to determine whether the familt actually purchased a new car or did not purchase a new car. The data can be found at

car.table