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MTH302 Applied Probability - CourseWork

1. (2 points) Let F and G be probability generating functions. Show that FG is also a probability generating function.

2. (2 points) For a simple random walk S with S0  = 0 and 0 < p = 1 − q < 1, show that the maximum M = max{Sn  : n ≥ 0} satisfies P(M ≥ k) = [P(M ≥ 1)]k  for k ≥ 0.

3. (2 points) Let Zn  be the size of the nth generation in a GW process with Z0  = 1, E(Z1 ) = µ . Show that

E(Zn Zm ) = µn −mE(Zm(2))   for   m ≤ n.

4. (3 points) Let {Sn  : n ≥ 0} be a simple random walk with S0  = 0, and let Mn  = max{Sk  : 0 ≤ k ≤ n}. Show that Yn  = Mn −Sn defines a Markov chain; find the transition probabilities of this chain.

5. (3 points) Last exits. Let

lij (n) = P(Xn  = j,Xk   i for 1 ≤ k < n|X0  = i),

the probability that the chain passes from i to j  in n steps without revisiting i. Writing

∞

Lij (s) =X sn lij (n),

n=1

show that Pij (s) = Pii (s)Lij (s) if i  j .

6. (3 points) Let X be a Markov chain containing an absorbing state s with which all other states i communicate, in the sense that pis (n) > 0 for some n = n(i).  Show that all states other than s are transient.