1. Take a look at your student ID number (SID). Define x as the sum of the digits of your SID. For example, if your SID is 123456789, then x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Consider the following market. There are n firms in the market. Demand is given by P(Q) = 12(x + 1) - Q,

and each firm has the cost function

C(q) = 100 + 12q,

where q is firm quantity, Q is market quantity, and P is the market price.

(a) What is the value of x?

ANS: We will use the example SID from above: SID = 123456789.

(b)  Suppose n = 1. Find the monopolist’s output and price.

ANS: The monopolist earns profits of

[1 mark ]

[3 marks]

π = Q(552 - Q - 12) - 100

= Q(540 - Q) - 100.

Taking FOCs gives

0 = 540 - 2Q

Q = 270.

The market price is given by P = 552 - Q = 282.

(c)  Suppose n = 2 firms engage in simultaneous quantity competition in a single period.

i. Find the reaction function for each firm.                                                              [3 marks] ANS: For Firm 1,

π 1 = q1 (552 - Q - 12) - 100

= q1 (540 - Q) - 100.

Taking FOCs gives

0 = 540 - 2q1 - q2

q1 = 270 - q2 /2.

This is the reaction function for Firm 1. Similarly, the reaction function for Firm 2 is q2 = 270 - q1 /2.

ii. Find the Nash equilibrium outputs of both firms.                                                  [3 marks] ANS: In the Nash equilibrium, both firms operate on their reaction function. Let q1 = q2 = q in a symmetric equilibrium. Then,

q = 270 - q/2

q =  = 180.

(d)  Suppose n = 2 firms engage in sequential quantity competition.  Firm 1 chooses their output

q1 . Then, Firm 2 observes q1 before choosing their output, q2 . Find the subgame perfect Nash equilibrium outputs of both firms.                                                                              [5 marks] ANS: We will solve by backward induction.  First, observe that Firm 2 will play according to the reaction function that we derived above. Firm 1 will anticipate this reaction function when choosing output. Rewrite Firm 1’s profit function as follows:

π 1 = q1 (540 - Q) - 100

= q1 (540 - q1 - 270 + q1 /2) - 100

= q1 (270 - q1 /2) - 100.

Take FOCs for Firm 1:

0 = 270 - q1

q1 = 270.

Substituting into Firm 2’s reaction function gives q2 = 270 - 270/2 = 135.

(e)  Suppose there are n = 2 firms. Bob makes output decisions for Firm 1 and Jane makes output decisions for Firm 2. Bob and Jane simultaneously choose output. Bob owns 100% of Firm 1 and 50% of Firm 2. Jane owns the remaining 50% of Firm 2. Find the Nash equilibrium outputs set by Bob and Jane. Explain why your answer differs from part 1(c)ii.                       [5 marks]

ANS: Just as before, Jane wants to maximise the profits earned by Firm 2. Jane therefore has the same reaction function as before:

q2 = 270 - q1 /2.

Bob has payoffs:

πB = π 1 + 0.5π2

= q1 (552 - Q - 12) - 100 + 0.5(q2 (552 - Q - 12) - 100) = q1 (540 - Q) + q2 (540 - Q)/2 - 150.

Take FOCs for Bob:

0 = 540 - 2q1 - q2 - q2 /2

q1 = 270 - 3q2

Combining the reaction functions gives

q1 = 270 -  (270 - q1 /2)

q1 = 

q1 = 108,

q2 = 216.

In the Nash equilibrium, Firm 1 produces a lot less than before. This is because Bob internalises the effect of Firm 1’s output on the profits of Firm 2.  Producing less for Firm 1 increases the profits of Firm 2. This improves Bob’s payoff because he has a 50% stake in Firm 2.

2. Two firms compete in the market for a homogeneous product.  Each firm has a capacity of K units. Market demand is given by

Q(p) = 6(x +10) - p,

where Q = q1 + q2 is aggregate output, and p is the price paid by consumers. For each firm, the cost of producing q units of output is given by:

C(q) = 60q.

The firms compete by simultaneously choosing price in a single period. The lowest priced firm cap- tures the whole market (up to their capacity constraints), while the higher priced firm serves any residual demand.

(a)  Suppose that K = 300.

i. Calculate the monopoly price.                                                                             [2 marks] ANS: The monopolist earns profits

π = (6 x 55 - p)(p - 60)

= (330 - p)(p - 60).

Solving the FOCs for a maximum gives

0 = 330 - 2p +60

p = 195.

At this price, the quantity demanded is Q = 135. Notice that Q < K = 300, so the monopolist is able to serve market demand at this price.

ii.  Solve for the reaction function of each firm. Is there a Nash equilibrium in pure strategies? Explain why or why not.                                                                                     [5 marks] ANS: Consider the perspective of Firm 1, and suppose that Firm 2 were to set a price at or above the marginal cost of 60. At this price, market demand is equal to Q(p2 ) = 330 - p2 <

270. But this is less than the capacity of each firm, K = 300. Therefore, it is not possible for firms to obtain positive residual demand if they were to relent. As a result, the model is reduced to the Bertrand model.

Each firm has the following reaction function. Undercut to the monopoly price if your rival sets a price above the monopoly price; marginally undercut if your rival sets a price above marginal cost (but below the monopoly price); and set a price above your rival if your rival sets a price below marginal cost. In the unique Nash equilibrium, both firms set a price equal to marginal cost. This is a Nash equilibrium because neither firm has an incentive to change price.

(b)  Suppose that K = 100.

i. Calculate the monopoly price.                                                                             [2 marks] ANS: In the previous question, we derived a monopoly price of p = 195 and an output of Q = 135. Notice that, with a capacity of K = 100, the monopolist is unable to satisfy market demand. She is better off producing at her capacity, and setting the price

= 330 - K = 230.

ii.  Solve for the reaction function of each firm. Is there a Nash equilibrium in pure strategies? Explain why or why not.                                                                                     [5 marks] ANS: Consider the perspective of Firm 1 and suppose that Firm 2 sets the price p2. If Firm

1 relents, they obtain profits:

πr = (330 - p - K)(p - 60)

= (230 - p)(p - 60).

The FOCs for optimisation are

0 = 230 - 2p + 60

pr = 145.

At this price, residual demand is

Qr = 230 - pr

= 85 < K.

Firm 1 is indifferent between relenting and undercutting when

πr = πu

852 = K(p2 - 60)

p2(*) = 60 +  = 132.25.

Firm 1’s reaction function is: undercut to the monopoly price of 230 if p2 > 230; marginally undercut p2  when p2  > p2(*); and set the price pr  when p2  < p2(*).  Firm 1 has an equivalent reaction function.  There is no Nash equilibrium in pure strategies because the reaction functions do not intersect.

(c)  Suppose that K = 30.

i. Calculate the monopoly price.                                                                             [1 mark ] ANS: In the first part, we derived a monopoly price of p = 195 and an output of Q = 135. Notice that, with a capacity of K = 30, the monopolist is unable to satisfy market demand. She is better off producing at her capacity, and setting the price

= 330 - K = 300.

ii. Is there a Nash equilibrium in pure strategies? Explain why or why not.               [5 marks] ANS: Consider the perspective of Firm 1 and suppose that Firm 2 sets the price p2. If Firm 1 relents, they obtain profits:

πr = (330 - p - K)(p - 60)

= (300 - p)(p - 60)

The FOCs for optimisation are

0 = 300 - 2p + 60

pr = 180.