1.  (Total:  16 marks) Short answer questions:

(a)  (4 marks) What is a diurnal pattern?

(b)  (4 marks) What is a martingale?

(c)  (4  marks) What is a European put?  How is it di§erent from an American put?

(d)  (4 marks) What is risk-neutral pricing?

2.  (Total:   18  marks)  Suppose that the process yt   follows the di§usion process:

dyt  = μdt + adwt ;                                         (1)

where μ is the instantaneous drift, a is the instantaneous volatility, and {wt } is the standard Brownian motion.

(a)  Derive the law of motion (i.e., the stochastic di§erential equation) of the following processes:

i.  (4 marks) The process {exp(yt )}. What type of di§usion process does it belong to?

ii.  (3 marks) The process {yt(2) _ ta2 }.

(b)  (3  marks) Suppose μ = 0.   What is the distribution of exp(yT ), conditional on the information set Ft  at t, where t < T?  [Hint: use the result in (a)(i).]

(c)  Suppose  that  the  time-t  value  of the  portfolio  is  given  by  Vt   = 100exp(yt ), where the law of motion of {yt } follows (1) with μ = 0:08 and a = 0:2. The current time is t = 0 with y0  = 0. It is known that the risk-free rate is r = 0:05.

i.  (3 marks) By risk-neutral pricing, compute the price of a Euro- pean call option written on this portfolio with strike price $100 and expiring one year later.  [Hint: use the result in (b).]

ii.  (2 marks) What is the probability of exercising the call option in (c)(i)?  [Hint: use the result in (b).]

(d)  (3 marks) For small time increment At > 0, show that EQ (yt(2)+(t _ (t + At)a2 |Ft ) = yt(2) _ ta2 ;

i.e., the process {yt(2) _ ta2 } is a martingale.

[Hint: discretise the law of motion obtained in part (a)(ii), then take conditional expectation and use the properties of Brownian motion.]

3.  (Total:  20 marks) While working as an intern in Goldman Sachs, Carol needs to help her boss to invest in a non-dividend-paying stock, whose price is assumed to follow a geometric Brownian motion with instantaneous drift μ and instantaneous volatility a. Let {St } be the stock price process.

(a)  (2 marks) Write down the stochastic di§erential equation of {St }. (b)  (3 marks) Derive the stochastic di§erential equation of {ln(St )}.

(c)  (3 marks) What is the probability distribution of ln(St ), conditional on the information set at time 0?

(d)  Suppose Carol holds a long position of 100 shares of the stock at time 0. The current value of the stock is S0  = $10 per share. It is known that μ = 0:01 and a = 0:1.

i.  (3  marks)  Compute the  1% value-at-risk  (VaR) with  1-year horizon.  [Hint: use the result in (c).]

ii.  (2  marks)  Compute the  1% value-at-risk  (VaR) with 4-year horizon.  [Hint: use the result in (c).]

(e)  As requested by the boss, Carol needs to buy 100 European puts on the stock with strike price $8 expiring in 1 year. Suppose the risk-free rate is r = 0, and a = 0:1.

i.  (1  mark) What is a possible reason for Carolís boss to make such request?

ii.  (3  marks) What is the probability that the puts will be ex- ercised under the risk-neutral world?   [Hint:  use the result in

(c).]

iii.  (3 marks) What is the total cost to Carol to acquire these puts?

4.  (16  marks,  2  or  0  for  each  answer)  Simon wants to take  a  long position of $1 million worth of Cisco Systems stock. To evaluate the risk of this position, Simon consulted Leo, Mary, Natalie and Oreo by asking them to compute the 1% VaR over an `-day horizon based on di§erent methodologies but the same set of historical data consisting of 2767 daily returns.

To estimate the sample quantile, Leo ranked all the 2767 daily negative log- returns, and observed that the two neighbouring sample quantiles around np = 2767 × 0:99 = 2739:33 are r(2739)  = 8:6956% and r(2740)  = 8:6963%.

Mary employed the RiskMetrics methodology.  Using the 2767 daily re- turns, she obtained the estimates as follows:

rt      =   at ;    at  = at "t ;    "t  ～ iid N(0; 1);

at(2)      =   0:964at(2)_ 1 + 0:036at(2)_ 1 :

r2767      =    _0:0043;    2767(2)  = 0:0016:

Based on the 2767 daily negative log-returns, Natalie identiÖed an ade- quate AR(1)-GARCH(1,1) model with standardised student-t distribution with 6.32 degrees of freedom (denoted as t6(*) .32 ), and obtained the estimates as follows:

rt      =    _0:00071 _ 0:0444rt _ 1 + at ;    at  = at "t ;    "t  ～ iid t6(*) .32 ; a t(2)      =   9:739 × 10_7 + 0:963at(2)_ 1 + 0:0374at(2)_ 1 :

r2766      =    _0:0136;    r2767  = _0:0043;    2767(2)  = 0:0016:

It is known that the upper 0.01 quantile of a conventional student-t dis- tribution with 6.32 degrees of freedom is t6 .32 (1 _ 0:01) = 3:0901.

Based on the 2767 daily negative log-returns, Oreo identiÖed an adequate GARCH(1,1) model with standard normal distribution, and obtained the estimates as follows:

rt      =   at ;    at  = at "t ;    "t  ～ iid N(0; 1);

a t(2)      =   7:427 × 10_6 + 0:923at(2)_ 1 + 0:0703at(2)_ 1 :

r2767      =    _0:0043;    2767(2)  = 0:0011:

Copy the following table to your answer booklet, and complete the table with the correct answer.  If a particular VaR cannot be computed based on the given data, simply write down ìN/Aî.

You are not required to show intermediate steps as no partial credits will be given in this part. You will get the full score for each entry only if the Önal answer is correct (up to thousand dollar).

Appendix

● Let r = T _ t, d1  =         o or              and d2  = d1 _ a Ar =         o or             .

ñ The time-t Black-Scholes price of a European call (with strike K and maturity date T):

Ct  = St ●(d1 ) _ Ke_rr ●(d2 ):

ñ The time-t Black-Scholes price of a European put (with strike K and maturity date T):

Pt  = Ke_rr ●(_d2 ) _ St ●(_d1 ) :

ñ The put-call parity:

Ct _ Pt  = St _ Ke_rr :

● ItÙís lemma:

df(t;St ) = ft (t;St )dt + fs (t;St )dSt +  fss (t;St )(dSt )2 ;           where ft (t;St ) =  ; fs (t;St ) =  and fss (t;St ) =  :

● The sample q-quantile (q1  < q < q2 ):

q2 _ q              q _ q1 

where `1  and `2  are two neighbouring positive integers such that `1   < nq < `2 , and qi  =  for i = 1; 2.

● Relationship between the standardised student-t variate t u(*)  and the con- ventional student-t variate tu , both having u degrees of freedom:

t u(*)  =

tu

√u=(u _ 2)

for u > 2: