1.  (Total:  16 marks) Short answer questions:

(a)  (4 marks) What is an arbitrage opportunity?

(b)  (4 marks) What is the di§erence between hedging and leverage?

(c)  (4 marks) Give three stylised facts of ultra-high frequency stock data.

(d)  (4 marks) What is expected shortfall?

2.  (Total:  18 marks) After leaving Goldman Sachs, Carol is now employed at J.P. Morgan as a trader.  Her manager asked her to form a portfolio by buying a European call and buying a European put.  Both options are written on the same non-dividend paying stock, expiring in a year (r = 1), and have the same strike price K = $30. The stock price is assumed to follow a geometric Brownian motion.

Suppose we are at time 0, and we know that the current stock price is S0  = $30, the annualised risk-free rate is r = 0:01, and the annualised volatility is σ = 0:2.

(a)  (3  marks) Plot the portfolioís payo§ against ST , the stock price at the

maturity date.

(b) With reference to the payo§ diagram in part (a) and the stock price dy- namics, explain how the portfolio value changes under each of the following situations (while other factors remain unchanged):

i.  (3 marks) as volatility increases.

ii.  (3 marks) as time-to-maturity decreases.

(c)  (2 marks) What kind(s) of investors will be interested in taking a long position in this portfolio?

(d)  (4 marks) Compute the current fair price of the portfolio.

(e)  (3  marks) Suppose European calls are not available for trading at the

moment. Please help Carol construct a portfolio that costs the same amount now and yields the same payo§ at maturity as the above portfolio. Assume that Carol can borrow/save money freely at the risk-free rate.  [Hint:  use the put-call parity]

3.  (Total:  18 marks) Suppose that, under the risk-neutral probability measure Q, the price of a non-dividend-paying stock follows the geometric Brownian motion:

dSt  = rSt dt + σSt dwt ;

where r is the annualised risk-free rate, σ is the annualised volatility, and {wt }

is the standard Brownian motion.

(a) Derive the law of motion (i.e., the stochastic di§erential equation) of the following processes under Q:

i.  (3 marks) The discounted stock price process {e_rt St }.

ii.  (3 marks) The log stock price process {ln(St )}.

(b)  (3 marks) For small time increment At > 0, show that

EQ (e_r(t+At)St+At|Ft ) = e_rt St ;

i.e., the discounted stock price process is a Q- martingale.

[Hint: discretise the law of motion obtained in part (a)(i), then take condi- tional expectation and use the properties of Brownian motion.]

(c)  (3 marks) Conditional on Ft , show that the log-price ln(ST ) (where T > t) under Q follows a normal distribution with mean ln(St ) + (r × )(T × t) and variance σ2 (T × t).  [Hint: use the result in part (a)(ii)]

(d)  Suppose the current stock price is $50, r = 0:03 and σ = 0:2.

i.  (3 marks) Given a European call option written on this stock with strike price $50 and expiring in one year. What is the probability that this call will be exercised under the risk-neutral world?  [Hint: use the result in part (c)]

ii.  (3 marks) If I invest $1,000 in this stock now, what is the 5% value- at-risk with one-year horizon under the risk-neutral world?  [Hint: use the result in part (c), then get the left-tail normal quantile.]

4.  (Total:  18 marks) Simon wants to take a long position of $1,000 worth of CBA shares.  To evaluate the risk of this position, Simon consulted Adam, Boris and Chris by asking them to compute the 5% VaR over an `-day horizon based on di§erent methodologies but the same set of historical data consisting of 987 daily returns.

To estimate the sample quantile, Adam ranked all the 987 daily negative log- returns in ascending order, and observed that the two neighbouring sample quan- tiles around np = 987 · 0:95 = 937:65 are r(937)  = 4:120% and r(938)  = 4:124%.

Boris employed the RiskMetrics methodology.  Using the 987 daily returns, he obtained the estimates as follows:

rt     =   at ;    at  = σt"t ;    "t  ～ iid N(0; 1);

σ t(2)     =   0:95σt(2)_1 + 0:05at(2)_1 :

r987     =   0:02;    9(2)87  = 0:0005:

Based on the 987 daily negative log-returns, Chris identiÖed an adequate AR(1)- GARCH(1,1) model with standardised student-t distribution with 4 degrees of freedom (denoted as t4(*)), and obtained the estimates as follows:

rt     =   0:01rt_1 + at ;    at  = σt"t ;    "t  ～ iid t4(*) ; σ t(2)     =   0:94σt(2)_1 + 0:04at(2)_1 :

r986     =   0:01;    r987  = 0:02;    9(2)87  = 0:0006:

It is known that the upper 0.05 quantile of a conventional student-t distribution with 4 degrees of freedom is t4 (1 × 0:05) = 2:1318.

(a)  (12 marks, 2 or 0 for each answer) Copy the following table to your

answer booklet, and complete the table with the correct answer (correct up to a dollar).  If a particular VaR cannot be computed based on the given data, simply write down ìN/Aî.

You are not required to show intermediate steps as no partial credits will be given in this part.  You will get the full score for each entry only if the Önal answer is correct (up to a dollar).

(b)  (4 marks) Comment on the strengths and weaknesses of the above three

methodologies.

(c)  (2 marks) Give an example of a di§erent method to compute the value-at- risk for Simon.