1.  (Total:  14 marks) Short answer questions:

(a)  (5 marks) By referring to the assumptions and the stylised facts of the

option and stock data, explain why the Black-Scholes model may not predict the option prices well in practice.

(b)  (4 marks) Discuss the main di§erence between ultra-high-frequency and

lower-frequency Önancial time series modelling.

(c)  (5 marks) Discuss the strength and weaknesses of value-at-risk relative to expected shortfall.

2.  (Total:  20 marks) Bob is the head of the Önancial engineering team in the back o¢ ce of a leading investment Örm in US. After some marketing research, the team decided to launch a new index fund nicknamed Bob2Power. Its payo§ at time t is V (t) = [S(t)]2 , where S(t) is the S&P 500 index. The team assumes that the S&P 500 index follows the law of motion (i.e., stochastic di§erential equation):

dS(t) = 4S(t)dt + 7S(t)dW(t);

where 4 is the instantaneous drift, 7 is the instantaneous volatility, and W(t) is the standard Brownian motion. Time is measured in years.

(a)  (5 marks) Derive the law of motion of V (t), and identify the name of this

stochastic process.

(b)  (5 marks) Using your result in part (a), show that the log-return log 

of Bob2Power over 7 years follows a normal distribution with mean (24 一 72 )7 and variance 4727 .

(c)  (4 marks) Suppose 4 = 0:05 and 7 = 0:3, and that the initial investment in Bob2Power is $1. Using the result in part (b), compute the 5% Value-at- Risk over a 3-year horizon (correct your answers to 2 decimal places).

(d) After  the  successful  launch  of Bob2Power,  Bobís  team  created  a  series of related index funds,  BobmPower,  for m  =  3; 4; 5;:::.   The payo§ of BobmPower is [S(t)]m , where S(t) is the S&P 500 index.

i.  (3 marks) With reference to your analysis in part (b), what is the log- return distribution of BobmPower in terms of m? No steps are needed for this part.

ii.  (3 marks) Based on the result in part (d)(i), comment on the change in the mean return and risk characteristics of BobmPower as m increases.

iii.  (3 bonus marks) Suppose 4 = 0:05 and 7 = 0:3, and that the initial investment in BobmPower is $1.  Find the expression (in terms of m) for the 5% Value-at-Risk over a 3-year horizon.  How does it change with m?

3.  (Total:  20 marks)  Consider a single-period Önancial market consisting of a risk-free money account and a risky stock Berry Inc.  (code: BRRY). Suppose a share of BRRY is priced at $100 now (time 0).  At the end of the period (time 1), its price either goes up to $120 or down to $80.  The risk-free interest rate is 0:1 per period (so that $1 deposited in the risk-free money account at time 0 will accumulate to $1:1 at time 1).  There is no restriction on the borrowing or lending capacity.  Let p be the probability that BRRY price goes up under the risk-neutral probability measure Q. All numerical answers in this question are to be rounded to 2 decimal places.

(a)  (3 marks) Show that p = 0:75.  [Hint: The discounted stock price process

is a martingale under Q.]

(b)  (4 marks) Suppose a European call is written on BRRY at time 0 with

strike price $100 and expiring at time 1. Find its fair price at time 0.

(c)  (5  marks) It is possible to replicate the payo§ of the European call in part (b) with a combination of risk-free money account and BRRY shares. Construct the replicating portfolio by clearly specifying the long/short po- sition for the risk-free money account and BRRY shares.  [Hint:  Suppose the replicating portfolio contains D units of risk-free money account and A shares of BRRY. Then Önd D and A. Note that positive (negative) numbers represent a long (short) position.]

(d)  Suppose the market price of a European call is $15 at time 0.

i.  (4 marks) Explain how you can make a riskless proÖt of $300,000.

ii.  (4 marks) Name and discuss two restrictions in real life that will pro- hibit you from earning the riskless proÖt in part (i).