(b) Let A = {0, 1, 2, 3} and B = {a,b,c,d,e} be two sets, where we assume that a,b,c,d,e

are distinct.

(i) How many relations are there with domain A and codomain B?

2. (a)  Consider the function f : Z → Z given by f(x) = x5  − x3 + x2  − 1.  Carefully explain whether f is injective and/or surjective.     

(b) Let A, B and C be arbitrary subsets of a given set X .  Decide whether the following

statement is always true, giving a proof if your answer is affirmative, or a counterexample otherwise:

(i)  (A \ C) ∩ (B \ D) ⊆ (A ∩ B) \ (C ∩ D).

(ii)  (A \ C) ∩ (B \ D) = (A ∩ B) \ (C ∩ D).

(c) Let f : R −→ Q be an arbitrary function, and let X be the subset of R2  defined by X = {(x,f(y)) ∈ R2  : x ∈ Q , y ∈ R}.

Here Q is the set of all rational numbers. Carefully explain whether the set X is countable

or not.

3. (a)     (i) Find the greatest common divisor g of 3289 and 533. Show your working.

(ii) Find integers m and n such that g = 3289 m + 533 n. As in part (i), here

g = gcd(3289, 533). Show your working.

(b) Determine 20212021   (mod 17), that is find an integer x with 0 ≤ x ≤ 16 such that

20212021  ≡ x  (mod 17). Show your working.

(c) Find a solution x to the equation

341 x ≡ 3

such that 0  ≤ x  ≤ 22, if such a solution

(mod 23) exists, or

show that there is no solution. [5 marks]

4. (a) Let p be a prime number. Describe all zero divisors in the ring Zp2   if there are any. Give reasons for your answer. (You do not have to prove that Zp2   is a ring.)            [6 marks]

(b)  Let p(x) = x5 − x3 + x2 − 1. Represent p(x) as a product of irreducible factors in Z7 [x].

5.  Consider the set of real numbers

R =  a + b√2 + c√3 + d√6 : a,b,c,d ∈ Q

with the operations addition and multiplication of real numbers. Carefully explain whether

R is a ring or otherwise.

6. (a) Prove that

d((x1 ,x2 ), (y1 ,y2 )) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |}

defines a metric on R2 . Notice that the coordinates of points in R2 used here are (x1 ,x2 ),

(y1 ,y2 ), (z1 ,z2 ), etc.

(b) In the metric space C[0, 2] of all continuous functions f : [0, 2] → R with the supremum

metric

d(f,g) = sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ [0, 2]},

find d(f,g) where f , g are the functions given by

f(x) = 1 + 6√x,

g(x) = x3 .

(You do not need to prove that d is a metric on C[0, 2].)

(c)  Suppose that {an } is a sequence in a metric space (X,d) and that

d(an ,an+1) ≤  1 

7. (a) Let f : R → R be defined by

f(x) =            +

(i) Using the Euclidean metric, show that f is a Lipschitz function with Lip(f) < 1. [6 marks]

(ii)  Show that there exists an unique x ∈ [0, 1] such that f(x) = x. 

(b)  Consider the Euclidean space Rn  (n ≥ 1) with the standard Euclidean distance. Let K be a non-empty closed and bounded subset of Rn , let (X,d) be a metric space and let f : K → X be a continuous function. Prove that for every ϵ > 0 there exists δ > 0 such

that d(f(x),f(y)) < ϵ for all x,y ∈ K so that ∥x − y∥ < δ . 

8. (a)  Consider the set

ℓ∞  = {(x = (x1 ,x2 , . . . ,xn , . . .) : xj  ∈ R ∀j ≥ 1,  sup|xj | < ∞}

j

of all bounded infinite sequences of real numbers with the usual addition of vectors and scalar multiplication:

x + y = (x1 + y1 ,x2 + y2 , . . . ,xn + yn , . . .),

α x = (α x1 ,α x2 , . . . ,α xn , . . .).

Show that

∥x∥∞  = sup|xj |

j≥1

defines a norm on ℓ∞ .