1. Let A = { 0 ,  1 ,  2 ,  {1, 2} ,  {0, {1, 2}} }.  For each of the following statements determine whether they are true or false.

(a)  {0, 1, 2} C A;

(b)  {1, {1, 2}} e A;

(c)  {1 , 2 , {1, 2}} e p(A);

(d)  { {0 ,  1 , {1, 2}} } e p(A).

2. Let A = {0, 1, 2} and B = {a, b, c, d, e} be two sets, where we assume that distinct.

(a) How many relations are there with domain A and codomain B? (b) How many of these relations are functions?

(c) How many of these functions are surjections?

(d) How many of these functions are injections?

a, b, c, d, e are

3.  Consider the function f : Z - Z given by f (x) = x5 + 3x3 + x _ 1. Carefully explain whether

f is injective and/or surjective.

4. Let A, B and C be arbitrary subsets of a given set X. Decide whether the following statement is always true, giving a proof if your answer is affirmative, or a counterexample otherwise:

(A \ B) \ C = A \ (B \ C).

5. Let f : Q _- R be an arbitrary function, and let X be the subset of R2  defined by X = {(x, f (y)) e R2  : x e Q , y e Q}.

Here Q is the set of all rational numbers. Carefully explain whether the set X is countable or not.

6. (a) Find the greatest common divisor g of 1866 and 294. Show your working. 

(b) Find integers m and n such that g = 1866 m + 294 n. As in part (i), here

g = gcd(1866, 294). Show your working.

7. Determine 4712345   (mod 13), that is find an integer x with 0 < x < 12 such that

4712345  = x  (mod 13). Show your working.

8. Find a solution x to the equation

101 x = 3    (mod 37)

such that 0 < x < 36.

9. Let p and q be two distinct prime numbers.  Describe all zero divisors in the ring Zpq  if there are any. Give reasons for your answer.  (You do not have to prove that Zpq  is a ring.) [7 marks]

10. Let p(x) = x4 + 2x3 + x + 2.

(a) Represent p(x) as a product of irreducible factors in Z5 [x].

(b) Represent p(x) as a product of irreducible factors in Z3 [x].

11.  Consider the set of real numbers

R = ,a +  : a, b e Q、.

It is easy to see that R is a subring of the real numbers.  (Do not prove this.)  Carefully explain whether R is a field or otherwise.

12. Prove that

d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max{Ix1(3) _ y 1(3)I, Ix2(3) _ y2(3)I}

defines a metric on R2 .  Notice that the coordinates of points in R2  used here are (x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ), etc.          

13. In the metric space C[0, 2] of all continuous functions f  :  [0, 2] - R with the supremum metric

d(f, g) = sup{If (x) _ g(x)I : x e [0, 2]},

find d(f, g) where f , g are the functions given by

f (x) = x _ 2,

g(x) = x3 .

(You do not need to prove that d is a metric on C[0, 2].)

14. Let (X, d) be a metric space. Prove that every Cauchy sequence in X is bounded.

15.  Let f : R - R be defined by

x + cos x

3       .

(a) Using the Euclidean metric, show that f is a Lipschitz function.

(b)  Show that there exists an unique x e [0, π] such that f (x) = x.

16. Let (X, d) be a metric space. Assume that xn  - x in X. Show that

lim d(xn , y) = d(x, y)

for every y e X .

17.  Consider the Euclidean space Rn  (n > 1) with the standard Euclidean distance.  Let K be a non-empty closed and bounded subset of Rn  and let f : K - R be a continuous function. Prove that f has an absolute maximum and an absolute minimum.                        [7 marks]

18.  Consider the vector space V = R2  with the usual addition of functions and multiplication by a scalar. For every v = (v1 , v2 ) e V define

lvl = Iv1 I + Iv2 I.

Prove that l . l is a norm on V .