1   Adverse Selection [will be covered in seminar]

Adverse selection refers to the situation in which one side of a market has better infor- mation that allows it to trade selectively, at the expense of the other side of the market. This can result in mutually beneficial transactions not going through. Classic examples of this are life insurance, where the customers most willing to buy insurance are exactly those who know they are likely to die soon; and the used car market, where those most willing to sell their car are exactly those owners who know their car is a lemon.  This exercise concerns the health insurance market, which, when left unregulated (as in the US prior to 2010), faces severe problems of adverse selection.

Consider a potential insuree with a type - e [0, 1]. The cost to provide insurance to an insuree is -/2. The benefit of insurance to the insuree is -.

1.1  Consider first  a  benevolent  social planner  (let’s  say,  the  NHS)  who  knows  -  and wants  to provide  insurance for free  whenever the  benefits  outweigh the  costs.  For what values  of -  should  the  social planner provide  insurance?   Is  knowledge  of -  essential here?

Instead of a social planner, we now have a health insurer. Assume that first the insurer decides on a price for insurance g e [0, 1], and then the insuree decides to accept or reject that offer.  An insuree accepting an offer gets - _ g whereas the insurer gets g _ -/2. If the offer is rejected, both parties get 0.   From now on, for simplicity we are only interested in solutions where the potential insuree accepts when indifferent.

1.2 For a given price g, what types of the potential insuree will purchase insurance?

1.3 Suppose - is  commonly known.  Find all SPNEs.  For what values  of - is insurance issued?

1.4 Suppose the common prior on - is that it is uniformly distributed on [0, 1].  The exact value of - is known only to the potential insuree.  Find all PBEs.

1.5  Which consumers are underserved in the private market of 1.4?

One might think adverse selection limits the market only because we’ve constructed it as a monopoly - with a single firm setting prices.  So let’s consider a duopoly.  Let two insurers, 1 and 2, set their prices g1  and g2  simultaneously. A potential insuree buying from insurer k gets - _ gi.  You can assume a consumer indifferent between purchasing from either firm randomizes with equal probabilities.

1.6  What are the insurers’ profits as a function of g1 , g2  and (a commonly known) -?

1.7 Find all PBEs when the prior on - is a uniform distribution on  [0, 1] and the  exact value is known only to the potential insuree.

1.8  Which consumers  are underserved in the  duopoly market of 1.7?  Do you think fur- ther competition would ameliorate this problem?

The Affordable Care Act requires that all US residents purchase insurance, or face a

fine. That is, the potential insuree now get - _ gi  by purchasing insurance from insurer k, or alternatively _p if they go without insurance, where p is the amount of the fine.   1.9What is  the  smallest fine  such  that  all types  of potential insuree  buy insurance  in  a PBE?

2   Perfect Bayesian Equilibrium in Stackelberg with informed first-mover [will be covered in seminar, time permitting]

Questions

Two firms costlessly produce a homogeneous good, choosing quantities z1 , z2  e {1, 2}, which we will denote low (L) and high (H) production. Price in the market is given by

i = max{0, - _ z1 _ z2 }

where - is a random variable, distributed according to the common prior giving i (- = 3) = g and i (- = 6) = 1 _ g.  Firm 1 is established: it knows - privately, and chooses z1  first (and observably). Once firm 2 observes z1 , it chooses z2 .

2.1  Draw this game’s Extensive Form.

2.2  For g = , find the pure BNEs and PBEs of the game.