1   Ye olde game of Chicken [will be covered in seminar]

Jane and Kate play a game of Chicken on the highway.  They run their cars headlong towards each other, with just one chance to swerve out of the way. If neither swerves, a crash occurs, and they both die, getting −5 utility each. If just one swerves, they both live; the one who swerved is dubbed a ‘Chicken’ for her cowardice, getting − 1 utility; the one who didn’t swerve gets praise, worth 2 utility. If both swerve, neither loses face, so they both get 0 utility. Both players make their choices simultaneously.

1.1  Draw the Normal Form representation of the game of Chicken.

1.2  Graph the utility for each of Kate’s pure strategies, as a function of Jane’s strategy.

1.3  Derive the Best-Response  Correspondences for both players.  Draw them.

1.4  Find all Nash Equilibria.

1.5  Suppose Jane recently took out life insurance, so that she instead gets x − 5 should she  die.  For what positive values  of x does the game have  a unique Nash Equilib- rium?

2   Auctions! [will be covered in seminar, time permitting] A first price, sealed-bid auction is an auction where

• All players simultaneously place their bids.

• The player with the highest bid wins the item at auction.

• In case of a tie, the winner is determined randomly (with equal probability among those tied).

• The winning player pays his bid.

Two players bid for a rare bottle of Laphroaig whiskey in a first-price, single-bid auction. This is an auction in which they can bid any amount in R＋.  Suppose the two players both value the item at e500.

2.1  Write out each player’s utility function.

2.2  Write out the  best-response correspondences  (just for pure opponent strategies).

2.3  Find all pure-strategy Nash Equilibria.

Now, we’re going to change the rules a little bit.  Suppose the auction instead is of the all-pay sort. In such an auction, all players, not just the winner, pay their bids.

2.4  Write out each player’s utility function.

2.5  Write out the  best-response correspondences  (just for pure opponent strategies).

2.6  Find all pure-strategy Nash Equilibria.

2.7  Find all symmetric mixed strategy Nash Equilibria where the strategies  can be  de- scribed  by  a pdf with  support  [0, 500].   (Symmetric  equilibria  are  those  where  all players use the same strategy)