1.   (a) The formula for the total cost per unit time in a single-item static demand continuous review model with no shortages is

DK       hy

y        2

where D denotes the constant demand per unit per unit time, K     denotes the total order cost, h denotes the storage cost per unit per unit time, and y denotes the order size in units. Let D = 3, K = 4, h = 0.2.

(i) Find the value of y that minimises TCU(y).

(ii)  Suppose the company requires only that the Economic Order

Quantity gives a TCU within 5% of the optimal TCU, and give a range for integers y that satisfies this.

[25 marks]

(b) When a particular company makes an order of size (y), the warehouse

changes its holding cost per unit per unit time (h) proportional to the size of the order (y).

(i) Explain why the following formula models this situation:

DK       cy2

y         2  .

(ii)  Suppose again that D = 3 and K = 4. Suppose that there is a

limit y 5 d on the amount that may be ordered. Show that the condition for ordering the maximum amount (as opposed to less than the maximum amount) is cd3  5 12.

[Hint:  Use the Kuhn–Tucker method.]

[25 marks]

2.  Suppose a primal linear program has three decision variables x1 , x2 , x3  (all non-negative) and two structural constraints.

(a) Explain why at least one of the decision variables must be nonbasic in

the optimal solution.

(b) Now assume that x1  and x2  are basic and nonzero in the optimal

solution.

(i)  Can the dual program have a non-unique solution?

(ii) Write down the complementary slackness equations, and simplify

them where possible.

(iii) In what circumstances can the primal program have a nonunique

solution?

[25 marks]

3.  Consider the following transportation problem.

12

4

10          16

(a) Find an initial basic solution to this problem that includes non-zero

assignments in the two starred boxes.

(b) Find an initial solution to this problem that includes non-zero

assignments in the two starred boxes but is not basic.

[10 marks]

4. A linear program has been solved under the assumption that all the         decision variables are non-negative. It is later discovered that the decision variable x1  should have been considered as an unconstrained variable.

Explain, with brief justification, how to check whether the solution found is still optimal after this change (and therefore whether the calculations need  to be redone).                                                                                     [5 marks]

5.  Give an example of a (single) multi-objective problem with the following properties:

❼ it has four decision variables;

❼ it has three objectives;

❼ it has a single optimal solution.

Justify briefly why the final property holds.                                     [5 marks]

6.  Give an example of an assignment problem with the following properties:

❼ there are exactly two optimal solutions;

❼ step (3) of the algorithm (adding to doubly-crossed-out numbers and

subtracting from numbers not crossed out) needs to be completed exactly once.

Show that your example has the required properties.                       [5 marks]