log(consumptioni ) = β0 + β1 log(incomei ) + β2 educationi + ui                    (1)

where ui  is an unobserved error term.

(a)  How would the researcher interpret the parameter coefficients β1  and β2 ?

[5 MARKS]

(b)  In terms of the variables included in model (1), state the Gauss-Markov Theorem

along with all the required assumptions.

[10 MARKS]

(c)  Do you think that OLS will uncover the causal relationship of income and education on alcohol consumption? Explain. [Hint: Discuss what kind of factors are contained in  the error term u.   Are  these  factors likely to be correlated with  income and education?]

[10 MARKS]

2.  Consider the following model:

y = Xβ + u                                                     (2)

┌ β0  ┐

where y is a (n× 1) vector containing observations on the dependent variable, β =  ' β1     ' ,

' β2  '

X is a (n × 3) matrix. The first column of X is a column of ones whilst the second and third columns contain observations on two explanatory variables (x1  and x2  respectively). u is (n × 1) vector of error terms. The following are obtained:

┌   0.2792     -0.1055   -0.0219 ┐

(X′ X)一 1  =  '  -0 . 1055      0 .0457       0 .0073     ' ;          u  = 0 .08069 ,

' -0.0219    0.0073      0.0020   '

where u  is standard error of the regression.

(a)   (i)  How many observations are there, i.e. what is the value of n?

[2 MARKS]

(ii)  Calculate the OLS estimates of β, and the standard error of βˆ1 .

[10 MARKS]

(b)  For each of the following  hypothesis tests,  clearly state the  null and alternative

hypotheses, the test statistic and its distribution, the decision rule, and your conclu- sions. Use a 5% significance level in both cases.

(i) Test the null hypothesis that explanatory variable x1  has no effect on the de- pendent variable y.

[5 MARKS]

(ii) The R2  from the OLS regression of model (2) is 0.7763, test the overall signif-

icance of the regression.

[8 MARKS]

3. A national fast-food restaurant is struggling and has asked you to advise on how to turn around their fortunes and increase their monthly sales.  Of particular interest to them is how price sensitive their customers are and whether their advertising spending is value for money. They have provided you with data from 75 of their stores across the country with the following information (unit of measurement in brackets):

❼ sales - monthly sales revenue in a given restaurant (↔1,000)

❼ price - average price of all menu items sold (↔1)

❼ advert - monthly spend on advertising (↔1,000)

pricesq and advertsq are the squared values of price and advert respectively. Using the provided data you estimate 4 separate models.  The R output from the OLS estimation of each of these models follows:

Model A

Call:

lm(formula  =  sales  ~ price  +  advert,  data  =  data)

Coefficients:

(Intercept) price           advert

Estimate  Std.  Error  t  value  Pr(>|t|)

118.9136         6.3516    18.722    <  2e-16 -7.9079          1.0960    -7.215  4.42e-10

1.8626         0.6832     2.726    0.00804

Residual  standard  error:  4.886  on  72  degrees  of  freedom

Multiple  R-squared:    0.4483,Adjusted  R-squared:    0.4329

F-statistic:  29.25  on  2  and  72  DF,   p-value:  5.041e-10

Model B

Call:

lm(formula  =  sales  ~  advert,  data  =  data)

Coefficients:

Estimate  Std.  Error  t  value  Pr(>|t|)

(Intercept)    74.1797          1.7990   41.234     <2e-16

advert               1.7326         0.8903      1.946     0.0555

Residual  standard  error:  6.37  on  73  degrees  of  freedom    Multiple  R-squared:    0.04932,Adjusted  R-squared:    0.0363 F-statistic:  3.787  on  1  and  73  DF,   p-value:  0.0555

Model C

Call:

lm(formula  =  sales  ~ price  + pricesq  +  advert,  data  =  data)

Coefficients:

(Intercept) price           pricesq       advert

Estimate  Std.  Error  t  value

Pr(>|t|)

0.0190

0.2049

0.3120

0.0138

Residual  standard  error:  4.885  on  71  degrees  of  freedom

Multiple  R-squared:    0.4562,Adjusted  R-squared:    0.4332

F-statistic:  19.85  on  3  and  71  DF,   p-value:  1.891e-09

Model D

Call:

lm(formula  =  sales  ~ price  +  advert  +  advertsq,  data  =  data)

Coefficients:

(Intercept) price           advert         advertsq

Estimate  Std.  Error  t  value

Pr(>|t|)

<  2e-16

3.24e-10

0.00105

0.00439

Residual  standard  error:  4.645  on  71  degrees  of  freedom

Multiple  R-squared:    0.5082,Adjusted  R-squared:    0.4875

F-statistic:  24.46  on  3  and  71  DF,   p-value:  5.6e-11

(a)  Consider Model A, interpret each of the three estimated coefficients.  Comment on

whether the magnitudes and signs of the estimates are reasonable.

[12 MARKS]

(b)  Comment on the statistical significance (individually) of the price and pricesq vari-

ables in Model C. Are these two variables jointly significant?   For the joint test, clearly state the null and alternative hypotheses, the test statistic and distribution, your decision rule, and your conclusion.  [Hint: Model B is the restricted model.]

[8 MARKS]

(c)  Using model D, what is the optimal average monthly advertising spend?

[5 MARKS]