Question 1

(a) Consider the following sequence of quarterly simple net returns over a two year period: 1%,-0.5%,2.2%,1.75%,-5%,-2%,1.8%,3.2%.

What is the annual rate (APR)?

We have   j(8)=1 (1 + Rj ) = 1.022132. The APR is then 1.0221321/2 _ 1 = 0.011005 or 1.1005%

(b) What is the monthly rate that is equivalent to an annual return of 3%?

We have  (1 + )12   =  (1 + RA ).   Let RM   =  R/12.   We have  (1 + RM )12   =  (1 + RA ) and RM  = (1 + RA )1/12 _ 1 it follows that RM  = (1 + 0.03)1/12 _ 1 = 0.00246 or 0.2466%

(c) On October 1987 the SP500 index dropped more than 23% in one day.  Let r denote the daily returns and assume that they are normally distributed with mean 0.000532 and standard deviation 0.012098. What is the probability of such a crash occurring?

We want P [r < _0.23]. We have P [(_0.23 _ 0.000532)/0.01298 < (_0.23 _ 0.000532)/0.012098] = P [Z < _19.06] ≈ 0

(d) Suppose that stock returns can be described by the model rt  = µ + et  with E[et lIt*1] = 0.  (i) Assuming that you are at some time t = T, how would you construct a forecast of returns for time t=T+1? (ii) What is the variance of your forecast error if it is assumed that the variance of the et(o)s is σe(2)? Comment.

(i) Use historical average up to T i.e.,     rt /T.  (ii) σe(2)((T + 1)/T).  As T grows the forecast

errors’s variance approaches σe(2)....

(e) State 3 stylised facts of stock returns.

Non-normality (fat tails, negative skewness), volatility clustering, weak to no serial correlation.....

(f) Suppose that stock prices are determined by the present value model Pt  =     Et Dt+j/(1 + r)j

where D denotes dividends and r the constant discount rate. Suppose that Et Dt+j  = Dt . Is this model compatible with stock prices following a random walk model?  Why or why not?  Justify your answer.

The model implies Pt  = Dt /r from which we infer Et Pt+k  = Pt  which is consistent with random walk behaviour....

(g)  Suppose that log stock prices evolve according to pt  = pt*1 + et . Do these stock prices contain a

deterministic trend, stochastic trend, or both?

pt  = p0 +    j(t)=1 ej . Stochastic trend....

(h) Under the efficient markets hypothesis returns should always be predictable if we assume that

expected returns are time varying. True, False or Uncertain? Explain.

True. Time variation in expected returns translates into predictability of actual returns....

Question 2

(a) For each of the following statements state whether they are True, False or Uncertain and briefly

justify your answer.

(i) If returns are serially uncorrelated then we can’t observe volatility clustering.

False....

(ii) Under time varying risk premiums returns must be predictable.

True....

(iii) The random walk model for stock prices implies that prices are predictable.

True.....

(iv) Under the efficient markets hypothesis volatility is not predictable.

False.....

(b) Let et  = rt _ rt(/)  denote excess returns with rt  the actual returns and rt(/)  the expected returns. We

also let It  denote the information set up to and including time t with It  = {et , et*1 , et*2 , . . .}.

(i) Assume E[et lIt*1] = 0. Show that in such an environment excess returns (the et ’s) must be serially uncorrelated.

Use law of iterated expectations to establish E[et et*k ] = 0....

(ii) Does the assumption that E[et lIt*1]  = 0 also imply that actual returns must be serially

uncorrelated? Why or Why not? Explain.

No. Returns could be serially correlated (e.g., rt  = µ + βrt*1 + et ). The statement is about excess returns....

(iii) Does the assumption that E[et lIt*1] = 0 imply that you cannot make money in such an

environment?

No. You may earn rt(/)....

(iv)  Suppose that E[et(2)lIt*1]  = β0  + β1 et(2)*1 .   Is such a behaviour consistent with the efficient

markets hypothesis?

Yes. The EMH imposes only that E[et lIt*1] = 0....

Question 3

(a) Using the monthly returns to a broad equity index you notice that the first twelve sample auto-

correlations range between -0.05 and 0.10.  The sample size that has been used is T=200. What can you conclude about the statistical significance of these sample autocorrelations?

Here 1.96/-T = 0.139.  As lρˆi l < 0.139 Vi = 1, . . . , 12 we may conclude that all twelve sample autocorrelations are individually statistically insignificant (using a 2.5% level)...

(b) Is it reasonable to argue that your data in question (a) supports the weak form of the efficient

markets hypothesis? Why or Why not? Explain.

As all twelve sample autocorrelations are statistically insignificant we may argue that the series is serially uncorrelated1  This would be supportive of the weak form EMH. If we had found serial correlation this could also have been supportive of the EMH unless we operated under CERs. ....

(c) A trader argues that there are short-run positive momentum effects in the constituents of an index. Given historical monthly return data on each stock (i) explain how you would test for the presence of such effects and (ii) briefly propose an investment strategy that takes advantage of such patterns.

(i) Expect short run autocorrelations to be positive and statistically significant (e.g., use Q stat or some other autocorrelation based test;  alternatively use regression based tests).   (ii) Form portfolios of recent winner stocks....

(d) Let rt (k) = ln(Pt+k/Pt ) 三 pt+k  _ pt  denote a k-period continuously compounded return (e.g., rt (1) = pt+1 _pt , rt (2) = pt+2 _pt  and so on). Assume that returns evolve according to rt  = µ +et with et   ～ IID(0, σe(2)).   (i) Obtain an expression for V [rt (k)], the variance of the long horizon returns in terms of the variance of the single period returns V [rt] 三 σr(2).  (ii) Suppose that your data is at a daily frequency and that there are 252 trading days in a year. Using your answer to

(i) argue how you would convert daily volatility σr(2)  into yearly volatility.

We have rt (k) = rt+k  + rt+k *1  + . . . + rt+1.  Since the rt ’s are IID we have V [rt (k)] = kσr(2).  Use 252 σr(2)....

Question 4

(a) Explain what is a stock market anomaly.

Typically a strategy that generates returns that are inconsistent with an underlying asset pricing model of normal returns (e.g., positive risk adjusted returns)....

(b) You are provided with historical returns on the performance of a style index that follows a popular investment strategy. Explain how you would assess whether the investment strategy has generated abnormal profits.

l unless there is an odd situation whereby serial correlation kicks in at orders greater than 12 which we haven’t tested. Unlikely though.