Question 1

(a) Consider the following sequence of quarterly simple net returns over  a two year period: 1%,-0.5%,2.2%,1.75%,-5%,-2%,1.8%,3.2%. What is the annual rate (APR)?

(b) What is the monthly rate that is equivalent to an annual return of 3%?

(c) On October 1987 the SP500 index dropped more than 23% in one day.   Let r  denote the daily  returns and assume that they are normally distributed with mean 0.000532 and standard deviation 0.012098. What is the probability of such a crash occurring?

(d) Suppose that stock returns can be described by the model rt = µ+et with E[et |It-1] = 0. (i) Assuming that you are at some time t = T, how would you construct a forecast of returns for time t = T + 1? (ii) What is the variance of your forecast error if it is assumed that

the variance of the et(o)s is σ e(2)? Comment.

(e) State 3 stylised facts of stock returns.

(f) Suppose that stock prices are determined by the present value model Pt =     Et Dt+j/(1 + r)j  where D denotes dividends and r the constant discount rate. Suppose that Et Dt+j  = Dt .  Is this model compatible with stock prices following a random walk model? Why or why not? Justify your answer.

(g) Suppose that log stock prices evolve according to pt = pt-1 +et . Do these stock prices contain a deterministic trend, stochastic trend, or both?

(h) Under the efficient markets hypothesis returns should always be pre- dictable if we assume that expected returns are time varying. True, False or Uncertain? Explain.

Question 2

(a) For each of the following statements state whether they are True, False or Uncertain and briefly justify your answer.

(i) If returns are serially uncorrelated then we can’t observe volatility clustering.

(ii) Under time varying risk premiums returns must be predictable.

(iii) The random walk model for stock prices implies that prices are predictable.

(iv) Under the efficient markets hypothesis volatility is not predictable.

(b) Let et  = rt  - rt(*)  denote excess returns with rt  the actual returns and rt(*) the expected returns. We also let It  denote the information set up to and including time t with It = (et , et-1 , et-2 , . . .}.

(i) Assume E[et |It-1]  =  0.   Show that in such an environment excess returns (the et ’s) must be serially uncorrelated.

(ii) Does the assumption that E[et |It-1] = 0 also imply that ac- tual returns must be serially uncorrelated?  Why or Why not? Explain.

(iii) Does the assumption that E[et |It-1] = 0 imply that you cannot make money in such an environment?

(iv) Suppose that E[et(2)|It-1] = β0 + β1 et(2)-1 .  Is such a behaviour consistent with the efficient markets hypothesis?

Question 3

(a) Using the monthly returns to a broad equity index you notice that the first twelve sample autocorrelations range between -0.05 and 0.10. The sample size that has been used is T=200. What can you

conclude about the statistical significance of these sample autocor- relations?

(b) Is it reasonable to argue that your data in question (a) support the weak form of the efficient markets hypothesis.  Why or Why not? Explain.

(c) A trader argues that there are short-run positive momentum effects in the constituents of an index.   Given historical monthly return data on each stock (i) explain how you would test for the presence of such effects and (ii) briefly propose an investment strategy that takes advantage of such patterns.

(d) Let rt (k) = ln(Pt+k/Pt ) = pt+k -pt denote a k-period continuously compounded return (e.g., rt (1) = pt+1 - pt , rt (2) = pt+2 - pt  and so on). Assume that returns evolve according to rt  = µ + et  with et ～ IID(0, σe(2)). (i) Obtain an expression for V [rt (k)], the variance of the long horizon returns in terms of the variance of the single period returns V [rt] = σr(2). (ii) Suppose that your data is at a daily frequency and that there are 252 trading days in a year. Using your answer to (i) argue how you would convert daily volatility σr(2)  into yearly volatility.

Question 4

(a) Explain what is a stock market anomaly.

(b) You are provided with historical returns on the performance of a style index that follows a popular investment strategy. Explain how you would assess whether the investment strategy has generated abnormal profits.

(c) You believe that the Gordon growth model provides an accurate valuation measure for the stocks in your investable universe.   (i)