SECTION A

Answer ALL the questions in this section.

Question 1 (5 marks)

In the context of sensitivity/uncertainty analysis for optimisation problem,

(a) describe at least one reason for converting the original primal problem into its “dual” form.

(2 marks)

(b) Convert the following primal optimisation problem into its “dual” form:

Maximise  = 11  + 32  + 53  + 74

Subject to

21  + 42  + 63  + 84  ≤ 100

31  + 62  + 92  + 124  ≤ 150

41  + 82  + 123  + 164  ≤ 200

 1,  2,  3, 4  ≥ 0

In the dual form, clearly identify the dual objective function, dual constraints and dual decision variables.

(3 marks)

Question 2 (5 marks)

In the context of Artificial Neural Network,

(a) the “Confusion Matrix” for a classification problem is given by Table Q2 below. Calculate the accuracy of the classifier.

Table Q2: Confusion matrix

(3 marks)

(b) Provide at least two statements based on the above “Confusion Matrix” .

(2 marks)

Question 3 (15 marks)

A generic “Single Layer Perceptron” (SLP) with 3 inputs is used for classification. Table Q3 below provides 5 known samples and their classification.

Table Q3. Samples and its classification

The bias is given by  = 0 , while the initial weights for the SLP are 1  = 0, 2  = 1 and 3  = 1, and the learning rate  = 0.05. The signum activation function is given by

() = () =  {+1 for  ≥ 0

(a) Draw  the  structure  of  the  modified  neuron  that  represents  the  above classification problem. Clearly label all parts of the neuron (including the inputs, output, weights and activation function).

(5 marks)

(b) Using all samples given in the table above, check if the SLP correctly classifies the output. Otherwise, update the weights using the “Delta rule” .

(Remark: “Delta rule” is given by the following equation):

 (+1)  =  + ( −  )

(10 marks)

Question 4 (5 marks)

The variable   have a nominal value of 3 and the uncertainty range from 2 to 4. Generate 5 random samples for the variable  using the “Latin Hypercube” sampling method.

SECTION B

Answer any TWO out of the three questions in this section.

Question 5 (35 marks)

The following optimisation problem has two minimisation objectives 1  and 2 :

1  = ( − 0.3)2

2  = ( − 0.5)2

subject to

0 ≤  ≤ 1

where  is the decision variable.

Assume an  initial population with 4  individuals 0.2 , 0.4, 0.6, 0.8.  Each  individual represents a potential solution for the objective functions 1  and 2 .

(a) Sketch the two functions 1  and 2  on the same graph for the specified range of  .

(5 marks)

(b) By using an appropriate encoding, use the ‘random selection’ method to select parents from the population. Then generate 4 children by applying both crossover and mutation operators, with mutation size of ±0. 1 (randomly applied). Evaluate the objective functions based on the combined pool of parents and children.

(6 marks)

(c) Draw a scatter plot and show the Pareto front based on the combined pool of population  generated  in  part  (b).  Identify the  best fitness  value  and  select 4 solutions from the scatter plot into the next generation.

(6 marks)

(d) Continue to produce another generation of children and illustrate the final Pareto- optimal solution in a separate scatter plot. Keep the population size fixed at 4 . Provide detailed explanations for each process.

(13 marks)

(e) Based on the final Pareto front in part (d), discuss the potential minimum value of the two objective functions 1   and   2   and the value of its decision variable  . Compare the results with the plot from part (a).

(5 marks)

Question 6 (35 marks)

A car production line receives raw materials each week which need to be processed into two types of cars: Sedan-x and Coupe-y. Both cars yield the same profits to the company. However, there are three production constraints which need to be satisfied, as stated in table Q6 below. The plant engineer must decide how much of each car to produce to maximize profit.

Table Q6: Production constraints

(a)  In the context of the optimisation problem, describe why the problem above can be solved using Linear Programming optimisation.

(2 marks)

(b) Convert the  problem  above  into the  Linear  Programming formulation.  Clearly

identify the decision variables, objective function and the constraint equations.

(3 marks)

(c) Using the graphical method, identify the feasible optimal solution. Clearly identify all the constraints lines and the feasible region.

(10 marks)

(d) Using the results from part (c), apply the “corner point method” to find the maximum profit and how many of each car the engineer must produce (while satisfying the constraints).

(3 marks)

(e) Using the  results from  part  (c),  apply the  “iso-profit  line”  method  to  find  the maximum profit and how many of each car the engineer must produce (while satisfying the constraints).

(12 marks)

(f)  Using the results in part (c) to part (e), discuss if the solution to the problem above

is unique. Elaborate your reasoning.

(5 marks)