Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT401

Summer 2022

Problem Set 1

1. Textbook Exercise 9.

2.   (a) Let Rl , R2 , . . . , Rn  be rings. Construct the direct sum

Rl e R2 e . . . e Rn   =  {(rl , r2 , . . . , rn ) l ri  e Ri }         Define componentwise addition and multiplication on this set. That is,

(rl , r2 , . . . , rn ) e (sl , s2 , . . . , sn )  =  (rl + sl , r2 + s2 , . . . , rn + sn )   and (rl , r2 , . . . , rn ) o (sl , s2 , . . . , sn )  =  (rl  . sl , r2  . s2 , . . . , rn  . sn )

Show that (Rl e R2 e . . . e Rn  , e , o) is a ring.

(b) Prove or give counter example : If Dl  and D2  are domains, then so is Dl e D2 .

3.  Show that R is a domain if and only if is R[x] is a domain.

4.   (a) Recall that we denote degree of a polynomial f(x) by ∂(f).  Show that if R is a

domain, then for any two non-zero polynomials f(x), g(x) e R[x], ∂(fg) = ∂(f) + ∂(g)

(b)  Give a counter example to show that the above statement need not hold if R is

not a domain.

5.   (a)  Show that every non-zero element in zn  is either a unit or a zero-divisor.

(b)  Give an example of a ring and a non-zero element in it, which is neither a

zero-divisor nor a unit.