1    MCQs, numerical and very short answer (40 points)

Group 1 (5 points)

1.  Consider a game with the following tree.

How many strategies does player 1 have?

Answer: 8

2.  Consider a game with the following tree.

How many strategies does player 1 have?

Answer: 6

3.  Consider a game with the following tree. How many strategies does player 1 have? Answer:  12

Group 2 (5 points)

1.  Consider the game tree. What is an SPNE of this game?

Answer:  ((A; C|Aa; C|Ac); (b|A, a|B)).

2.  Consider the game tree. What is an SPNE of this game?

Answer:  ((A; E|Ba); (b|A; a|B; e|BaD)).

3.  Consider the game tree. What is an SPNE of this game?

Answer:  ((A; D|A, E|B); (a|A, c|B, d|Bc)).

Group 3 (5 points)

1. Which of the following statements are correct?

(a) In an exchange economy, if equilibrium does not exist, then the Pareto set is empty.

(b) If the independence axiom holds, then the preference must be represented by expected utility.

(c) If preference is represented by expected utility, then SARSEU will always hold for the choices generated by this preference.  (***)

2. Which of the following statements are correct?

(a) In an exchange economy, even if equilibrium does not exist, the Pareto set is not empty.  (***)

(b) If the independence axiom holds, then the preference might be represented by expected utility. (***)

(c) If preference is represented by expected utility, then SARSEU might be contradicted for the choices generated by this preference.

Group 4 (5 points)

1.  Consider production technology f(K, L) = K pmin(K, L). What kind of returns does it exhibit?

(a)  DRS

(b)  CRS

(c) IRS (***)

(d)  None of the above.

2.  Consider production technology f(K, L) = K +pmin(K, L). What kind of returns does it exhibit?

(a)  DRS (***)

(b)  CRS

(c) IRS

(d)  None of the above.

3.  Consider production technology f(K, L) = √K pmin(K, L). What kind of returns does it exhibit?

(a)  DRS

(b)  CRS (***)

(c) IRS

(d)  None of the above.

Group 5 (5 points)

1.  Consider the following game.

Which of the following statements are correct?

(a)  The game has a dominated strategy.  (***)

(b)  The game has a dominant strategy.

(c)  The game has only one NE. (***)

2.  Consider the following game.

Which of the following statements are correct?

(a)  The game has a dominated strategy.  (***)

(b)  The game has a dominant strategy.  (***)

(c)  The game has only one NE.

Group 6 (5 points)

1.  Consider the following game.

What are the pure-strategy NE of this game?  Answer:  (U,L) and (M, C).

What is the probability with which player 1 chooses strategy U in a MSNE? Answer: p = .

2.  Consider the following game.

What are the pure-strategy NE of this game?  Answer:  (U,C) and (M, L).

What is the probability with which player 1 chooses strategy U in a MSNE? Answer: p = 0.75. (Note that canvas site incorrectly shows that the correct answer is 0.8; we have already accounted for this mistake manually.)

3.  Consider the following game.

What are the pure-strategy NE of this game?  Answer:  (U,C) and (M, L).

What is the probability with which player 1 chooses strategy U in a MSNE? Answer: p = 0.75.

Group 7 (5 points)

1.  Suppose the firm has access to the following technologies:  f1 (K, L) = 10K+ L, f2 (K, L) = 8K +4L

and f3 (K, L) = 5K + 6L. What is the aggregate production technology?

Answer: f(K, L) = 10K + 6L.

2.  Suppose the firm has access to the following technologies:  f1 (K, L) = 5K +5L, f2 (K, L) = 3K +9L

and f3 (K, L) = 6K + 4L. What is the aggregate production technology?

Answer: f(K, L) = 6K + 9L.

3.  Suppose the firm has access to the following technologies:  f1 (K, L) = K + 4L, f2 (K, L) = 3K + 3L

and f3 (K, L) = 5K + L. What is the aggregate production technology?

Answer: f(K, L) = 5K + 4L.

Group 8 (5 points)

1.  Consider two identical firms with marginal costs of 20 participating in the Cournot quantity com- petition. Market demand is P = 500 − 2Q. What is the equilibrium quantity of each firm and the price?

Solution: Firm 1 maximizes the following profit:

max(500 − 2q1  − 2q2 )q1  − 20q1

1

FOC: 500 − 4q1 − 2q2 − 20 = 0.

By analogy, for firm 2, we will have:  500 − 4q2 − 2q1 − 20 = 0. By solving the system of equations, we get q1  = q2  = 80 and P = 500 − 2 ∗ 2 ∗ 80 = 180.

2.  Consider two identical firms with marginal costs of 40 participating in the Cournot quantity com- petition. Market demand is P = 400 − 3Q. What is the equilibrium quantity of each firm and the price?

Solution: Firm 1 maximizes the following profit:

max(400 − 3q1  − 3q2 )q1  − 40q1

1

FOC: 400 − 6q1 − 3q2 − 40 = 0.

By analogy, for firm 2, we will have: 400 − 6q2 − 3q1 − 40 = 0. By solving the system of equations, we get q1  = q2  = 40 and P = 400 − 3 ∗ 2 ∗ 40 = 160.

3.  Consider two identical firms with marginal costs of 60 participating in the Cournot quantity com- petition. Market demand is P = 600 − 4Q. What is the equilibrium quantity of each firm and the price?

Solution: Firm 1 maximizes the following profit:

max(600 − 4q1  − 4q2 )q1  − 60q1

1

FOC: 600 − 8q1 − 4q2 − 60 = 0.

By analogy, for firm 2, we will have: 600 − 8q2 − 4q1 − 60 = 0. By solving the system of equations, we get q1  = q2  = 45 and P = 600 − 4 ∗ 2 ∗ 45 = 240.

2    Extended response questions (30 points)

Group 9 (10 points)

1.  (7 points) Derive the cost function for production function f(K, L) = aK0 .25 + bL0 .25 . Solution: The firm will solve the following cost-minimization problem:

min rK + wL

K,L

s.t. aK0 .25 + bL0 .25  = q .

The Lagrangian is

L = rK + wL + λ(q − aK0 .25 + bL0 .25 ).

The FOC:

= r − 0.25λaK−0 75.  = 0

∂L ∂L

Hence, = , implying K0 .75  = back into the production function:

= w − 0.25λbL−0 75.  = 0

1

L0 .75 , and hence, K0 .25  = 3   L0 .25

which we plug

q = a L0 .25 + bL0 .25  = L0 .25 a 3(1)   + b ⇒ L0 .25  =

implying K =

q4 ∗ ( ) a ( ) +b 4

⇒ K0 .25  = ,

and L = . Hence, the cost function is

c(w, r, q) = rK + wL = r + w

q4

a + b 4

r + w =

• Version 1: a = 2, b = 3 ⇒

• Version 2: a = 1, b = 4 ⇒

• Version 3: a = 5, b = 1 ⇒

• Version 4: a = 6, b = 2 ⇒

q4 wr

2 w +3 r 3

q4 wr

w +4 r 3

q4 wr

5 w +r 3

q4 wr

6 w +2 r 3

2.  (3 points) By using your cost function, derive the firm’s supply. For some specific values of w and r .

Solution: Hence, c(q) = cq4 . Then the firm maximizes the following profit:

max pq − cq4  ⇒ FOC: p = 4cq3 ,

q

1

implying the firm’s supply is qS  = 3  p .

• w = 0.5, r = : 4c = = = .

• w = 1, r = 0.25: 4c = = = .

• w = 25, r = 1: 4c = = = .

• w = , r = 0.5: 4c = = = .

Group 10 (20 points)

AU Insurance has announced a new car insurance "Platinum plan. " The Platinum plan costs 15% more than the Standard plan. Under the Standard coverage, the driver’s premium for future years will increase if the driver has at least one accident during the year.  The Platinum protection guarantees that the premium will not go up unless the driver has at least two accidents during the year.  All other terms of the plans are identical.

Suppose that the probability of an accident depends on three factors:  how much effort the driver makes to avoid the accident, the driver’s skill, and the weather (bad weather leads to more accidents). The driver chooses effort and knows her own skill, but at the time she buys insurance, she does not know how the weather will be like. AU Insurance cannot observe effort or skill, and it has the same information about the weather as the driver.

Let X be the average number of accidents in 2020 by a randomly chosen AU Insurance driver who is forced to use the Standard plan (i.e., this driver is not allowed to purchase the Platinum option).

Let Y be the average number of accidents in 2020 by a randomly chosen AU Insurance driver who is forced to use the Platinum plan (i.e., this driver is not allowed to purchase the Standard option).

Let Z be the average number of accidents in 2020 by a randomly chosen AU Insurance driver who voluntarily chooses the Platinum plan rather than the Standard option.

Suppose that the assignment into different groups is random and does not depend on any character- istics of the driver.

1.  (10 points) How do you expect X and Y to compare?

Answer:  X ≤ Y :  This is because of the arising problem with moral hazard (hidden effort) in group Y. The drivers that are allowed to make one mistake will be more careless than those who are not allowed any mistakes at all.

2.  (10 points) How do you expect Y and Z to compare?

Answer:  Y ≤ Z:  Group Z suffers from adverse selection of the drivers with bad skills who are willing to buy better insurance than good drivers, whereas group Y includes bad and good drivers.

You may assume that AU Insurance drivers constitute a small proportion of all drivers on the road. Clearly state all additional assumptions you make and you are expected to refer to the concepts from the course, but you do not need to write down any models or math.

Version 2 of this question had X and  Y switched places .

3    Long-Answer Question (30 points)

Version 1

Suppose there are two states of the world S = {s1 , s2 } and two consumers with utility u(x) = lnx and endowments representing available consumption in each state w1  = w2  = (10, 10).  Consumer 1 is SEU with subjective beliefs  P (s1 )  = 0.25 and P (s2 )  = 0.75.   Consumer 2 is MEU with the set of priors C = {P(s1 ), P (s2 ) : P (s1 ) + P (s2 ) = 1 and P (s1 ) ≥ 0.5}. The consumers can buy and sell Arrow assets.

1.  (5 points) Draw an IC of consumer 2. Solution: Consumer 2’s utility is

u2 (x1 , x2 ) =    min   (p ln x1 + (1 − p) ln x2 ).

0 .5≤p≤1

Hence, it can be rewritten as

u2 (x1 , x2 ) =

implying the following IC: