Problems

1. Let a, b ∈ R with a < b and γ : [a, b] → R2  be a differentiable parametric curve.  Determine which of the following statements are true or false. If false, give a counterexample. If true, briefly explain why.

(1a)  Suppose ∥γ′ (t)∥ > 0 for all t ∈ (a, b) and that ∥γ′ (t)∥ is not constant.  Then N(t) and γ′′ (t) are not parallel.

(1b)  Suppose [a, b] = [0,6]. If γ(t) is the position of a particle at t seconds, then ∥γ(4)−γ(2)∥ is the distance

the particle travels between 2 and 4 seconds.

2. For each of the sets S ⊆ R3 below, express S in rectangular, cylindrical, and spherical coordinates. (2a) S is the portion of the first octant [0,∞)3 which lay below the plane x + 2y + 3z = 1

(2b) S is the portion of the ball {(x , y, z) ∈ R3  : x 2 + y2 + z2  ≤ 4} which lay below the cone {(x , y, z) ∈ R3  : z = px2 + y2 }

3. Level sets can be very strange. Let A be the circle of radius 2 centered at the origin and let B = {(x , y) ∈ R2  : y = x 2 }. Construct a polynomial f  : R2 → R whose π-level set is A∪ B and prove that A∪ B is its π-level set,

4. Let S = {(x , y) ∈ R2  : x + y < 1} and let p = (0.5,0.5).

(4a)  Sketch a “picture proof” that p is a boundary point of S . Label your diagram with quantities that would be used in a direct proof by definition. Do not write a full proof.

(4b) Prove from definition that p is a boundary point of S .

5. Prove or provide a counter-example for each of the following statements:

(5a) For any S ⊂ Rn , ∂ S = ∂ SC

(5b) For any S ⊂ Rn , (S )o  = So

(5c) For any S ⊂ Rn , (So )o  = So