Question 1.

(a) Firm i’s profit function is

πi  = [a - b(qi + qj  + qk )]qi - cqi  = [(a - c) - b(qj  + qk )]qi - bqi(2) .

The first-order condition is

(a - c) - b(qj  + qk ) - 2bqi  = 0.

(q1 , q2 , q3 ) = (  ,  , ) is a Nash equilibrium. Then we have

Q   = p   =

πi     =

3(a-c)

4b

a - b ╱ 、=  + c

(a-c)玄

16b

(b)  Given the first-order condition above, we have

q3  =  - qi 2(+)q玄 .

(c)  Given q1  and the expression above for q3 , firm 2’s profit function can be expressed as

π2     =   ,a - b ┌q1 + q2 +二 - qi 2(+)q玄 、┐← q2 - cq2

=   ┌(a - c) -  - b 二qi 2(+)q玄 、┐ q2

=   二 、{[(a - c) - bq1]q2 - bq2(2)}

The first-order condition is

(a - c) - bq1 - 2bq2  = 0   ÷   q2  =  -  .

(d) Note that the expressions above give

q3  =  -  ┌q1 +二 - 、┐ =  -  .

Firm 1’s profit function is

π 1     =   ,a - b ┌q1 +二 - 、+二 - 、┐← q1 - cq1

=   !(a - c) -  -  ! q1

=   二 、[(a - c) - bq1]q1 .

The first-order condition is

(a - c) - 2bq1  = 0   ÷   q1  =  .

(e) We have

q2     =    - 二 、二 、=

q3     =    - 二 、二 、=  .

(f) We have

Q   =    +  +  = 

p   =   a - b ╱ 、=  + c

π 1     =   玄

π2     =   玄

π3     =   玄 .

While firm 1’s output is higher than the one in (a), the profit remains the same – no “first- mover advantage”.

Question 2.

(a) Firm 2’s profit function is

Π2 (q1 , q2 ) = (24 - (q1 + q2 ))q2 - 12q2 - 1 = (12 - q1 )q2 - q2(2) - 1. The first-order condition gives

12 - q1 - 2q2  = 0.

Firm 2’s best response is

q2(*)(q1 ) =

(1)

Firm 1’s profit function can be written as

Π 1 (q1 , q2 ) = 24 - (q1 + q2 ))q1 - 12q1  = (12 - q2 )q1 - q1(2)

The first-order condition gives

q 1(*)(q2 ) =

We look for a symmetric equilibrium. In this case, q1  = q2  = q*  where q*  solves

12 - 二 、

2

The equilibrium price is p*  = 24 - 2 * 4 = 16.  Firm 2’s profit is (24 - 8)4 - 12 * 4 - 1 = 15 while firm 1’s profit is (24 - 8)4 - 12 * 4 = 16.

(b) By taking into account firm 2’s best response function, firm 2’s profit can be written as

(12 - q1 )2

The expression is zero with 1  = 10.

(c) We solve this game by backwards induction. Assume firm 1 has chosen a level of capacity k1 , which we take as given. Since the cost from the investment in capacity is sunk, firm 1 ignores this cost when choosing output.

1

12

q2  = 122(-)qi

10

9

8

7

6

k1    5

4

3

2

1

2

5    6    7    8    9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20

-1

Figure 1: Best-response curves when entry cost for firm 2 is 1.

The profit function for firm 1 is given by

Π 1 (k1 , q1 , q2 ) = ,!(24 - (q1 + q2 ))q1 - 6q1  = (18 - q2 )q1 - q1(2)

if q1  < k1 ,

if q1  > k1 .

The marginal profit is given by

∂qiΠ 1 (k1 , q1 , q2 ) = ,!18 - q2 - 2q1

if q1  < k1 ,

if q1  > k1 .

The best response for firm 1 for a given level of output for firm 2 is

,

| | |

q (k1(*) 1 , q2 ) = !

| | |

18-q玄

2

12-q玄

2

1

if k1  > 18 2(-)q玄

if k1  < 18 2(-)q玄                             .

if k1  e 二 12 2(-)q玄 玄 、

(2)

Suppose k1  > 8.  Then there exists a (Cournot) equilibrium in which firm 1 chooses output q1  = 18 2(-)q玄 . Given firm 2’s best response from equation 1, then in equilibrium we have

q1  =  ÷ q 1(**)  = 8

12

11

10

9

8

7

6

k1    5

4

3

2

1

2

4    5    6    7    8    9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20

-1

Figure 2: Best-response curves when firm 2’s entry cost is 25/4

and q2(**)  =  = 2. The ex-ante profits for each firm in this equilibrium are:

Π 1 (8, 2) = (18 - 2)8 - 82 - 6 * 8 = 16

Π2 (8, 2) = (12 - 8)2 - 22 - 1 = 3

(3)

(4)

Note that in this equilibrium, the profit for firm 2 is positive, so that firm 2 will still enter.

From the diagram in Figure 1 it is clear that there are only two possible equilibria: one in which k1  < 4 in which case the equilibrium in the second stage is the symmetric Cournot equilibrium from part (a.), and one in which k1  > 8, in which firm 1 chooses q1  = q 1(**)  = 8 and q2  = q2(**)  = 2. For the first case, any level of investment k1  < 4 generates the same payoff (ex-ante) for firm 1.  For the second case, firm 1 would lose from overinvesting by setting capacity in excess of q1  = 8 so that it would optimally set k1  = 8.  Comparing the two equilibria, firm 1 obtains a profit of 16 in both equilibria, so that the entire game has two equilibria.  In the first, firm 1 sets k1  < 4 and the firms play the symmetric Cournot afterwards and one in which k1  = 8 in which case firm 1 sets q1  = 8 and firm 2 q2  = 2 in the second stage.

(d) Note that if f2  =  = 6.25, then firm 2 would prefer not enter if the output of firm 1 exceeds q1  = 7. If firm 2 does not enter, irrespective of firm 1’s choice of capacity, then firm 1’s ex-ante (monopoly) profit is

Π1(m)(k1 , q1 , q2 ) = ,!12q1 - q 1(2) - 6(k1 - q1 )

if q1  < k1 ,

if q1  > k1 .

Note that for any q1  the second line is larger than the first line, so that at optimum, k1  < q1 . The monopoly profit function is maximised at q1  = 6 where k1  < q1  is arbitrary. Firm 1 then receives (24 - 6)6 - 12 * 6 = 36.  However, if firm 2 observes that firm 1 sets k1   < 6 and anticipates that firm 1 chooses output q1  = 6, it would enter, and thus firm 1 would not be in a monopoly.  Thus, firm 1 can then either accomodate, by setting k1  < 4 or it can dissuade firm 2 from entering by setting capacity to k1  = 7.  In this case, the optimal output for firm 1, assuming firm does not enter, is q1  = 7.  Its profit in this case is (24 - 7)7 - 12 * 7 = 35 which clearly exceeds the profit from accomodating firm 2 by setting capacity to k1  < 4. Note that firm 1 cannot do better by increasing capacity above 7, since ex-ante, the marginal payoff from choosing any output larger than 6 is negative, so that firm 1’s payoff decreases when it increases capacity.

Question 3

(a) The profit function is

[a - bQ]Q - cQ = (a - c)Q - bQ2 .

The first-order condition gives

(a - c) - 2bQ = 0   ÷   Q =  .

We then have p =  + c and π = 玄 .

(b) Each firm i’s profit is

[a - b(qi + qj )]qi - cqi  = [(a - c) - bqj ]qi - bqi(2) .

The fist-order condition is

(a - c) - bqj  - 2bqi  = 0.

The unique Nash equilibrium is (q1 , q2 ) = (  , ). The corresponding price and profits are p =  + c and πi(c)  = 玄   for each i e {1, 2}.

(c) Let qi(m)  =  for i e {1, 2}. We then have p =  + c and πi(m)  = 玄 . Note πi(m)  > πi(c) .

(d) Let q1  = . Firm 2’s profit is

π2  = [a - b( + q2 )]q2 - cq2  = q2 - bq2(2) .

The first-order condition gives

 - 2bq2  = 0   ÷   q2(d)  =  .

Given  +  =  , we have p =  + c and π2(d)  =  . Note π2(d)  > π2(m) . (e)  Consider the following strategy for each firm i:

(a)  Choose qi(m)  =  at t = 0.

(b)  Choose qi(m)   =    for any t > 0 if (q1 , q2 ) =  (  , ) has been chosen in every past period. Choose qi(c)  =  otherwise.

At t = 0, the discounted future profit from qi(c)  is πi(m).  If firm i deviates, given firm j’s strategy, the highest payoff can be achieved by choosing qi(d), which also implies that each firm

will produce qi(c)  from the next period. The discounted future profit is then π m + πi(c). If the combination of this strategies is a Nash equilibrium, we need to have

πi(m)  > πi(d) + πi(c)

÷   πi(m)  > (1 - δ)πi(d) + δπi(c)

÷   玄   > (1 - δ) + δ 玄

÷    > (1 - δ) + δ 

÷   72 > (1 - δ)81 + δ64

÷   (81 - 64)δ > 81 - 72

÷   δ >  .

If δ > , the combination of the strategies above is a Nash equilibrium.

(f) Divide the set of subgames (excluding the entire game which was analyzed in (e)) into two

groups:

(a)  Only (q1 , q2 ) = (  , ) has been observed in every past period.

(b)  Something else happened in the past.

For the former, we can use our argument from (e) – the combination of trigger strategies above is indeed a Nash equilibrium. For the latter, the trigger strategy suggests (q1 , q2 ) = (  , ) (Nash equilibrium in one-shot Cournot) in every period.  This is indeed a Nash equilibrium. Hence,  if δ  >  ,  the combination of trigger strategies above is a subgame perfect Nash equilibrium.

(g)  Consider the following trigger strategy:

(a)  Choose q*  at t = 0.

(b)  Choose q*  for any t > 0 if (q1 , q2 ) = (q* , q* ) has been chosen in every past period. Choose qi(c)  =  otherwise.

If they both choose q* , the corresponding profit is [(a - c) - 2bq*]q* .

If one firm is committed to choose q* , the other firm’s profit is

[a - b(qi + q )]q*i - cqi  = [(a - c) - bq ]q*i - bqi(2) .

The first-order condition gives

[(a - c) - bq*] - 2bqi  = 0   ÷   qi  =  .

Given  + q*  =  =  +  , we have p =  - q* + c and π d  = 玄 .   The condition for the combination of the trigger strategies above is a Nash equilibrium is hence

 [(a - c) - 2bq*]q*  > 玄   + 玄

÷   [(a - c) - 2bq*]q*  > (1 - δ) 玄   + δ 玄

÷   36b[(a - c) - 2bq ]q* *  > 9(1 - δ)[(a - c) - bq*]2 + 4δ(a - c)2 ÷   0 > 9b2 (9 - δ)(q* )2 - 18b(a - c)(3 - δ)q* + (9 - 5δ)(a - c)2

We then have

(  )(  ) < q*  < 

Note

limδ →0 ( )( )   = limδ →  ( )( )   =

a-c

3b

a-c

4b