SECTION A

· You must answer all the questions from this section.

· This section is worth 20 marks.

· You are advised to spend 30 minutes on this section.

A1.    (a)  Insurance on a car decreases by 10% each year. If in the first year the insurance costs £1500, how many years (n) will it be before the insurance costs less than £150?                                                                                                                    [4]

(b) What is the total amount of insurance paid up to and including the year n?     [3] (c)  If the number of years tends to infinity, does the total amount paid converge?

Write down the reasoning behind your answer.

A2. The total differential of a function z = f(x, y) is given by

dz =      dx +     dy.

(a) What is meant by the total differential?

[3] [10 Marks]

[2]

(b) The moment of inertia of a uniform rod about one end is I = ML2 , where M is the mass and L is the length of the rod. If M = 400 ± 1 g and L = 20.0 ± 0.5 cm, calculate the uncertainty in I , and write the value for I in the form I ± dI with units and the correct number of significant figures.                                    [8]

[10 Marks]

SECTION B

· You must answer all the questions from this section.

· This section is worth 45 marks.

· You are advised to spend 70 minutes on this section.

B1. A circular disc of radius 2 units is centred at the origin in the x - y plane. The areal density of the disc is given by σ(y2 + 1), where σ is a constant.

(a)  Find the mass of the disc in terms of σ. Explain each step of your working.  [10]

(b)  How does the answer to part (a) change if the disc is centred at the point (0,1), instead of at the origin?                                                                                       [5]

[15 Marks]

B2.    (a)  Calculate Vf for the surface f (x, y, z) = x2 + y3 - 2z at the point (2,1,1). What is the meaning of Vf ?                                                                                         [5] (b)  Calculate the rate of change of f (x, y, z) in the direction 2ˆ +  at the point (2,1,1).                                                                                                                  [3]

(c)  In what direction is the rate of change of f greatest at (2,1,1)?   Justify your answer. Determine the rate of change in this direction at (2,1,1).                     [5]

(d)  Find a unit vector that is normal to the surface at (0,0,0).  Justify your method. [2]

[15 Marks]

B3. Two vector fields are described by A = z3  and B = 2y+ 2xzˆ+ 2z3  .

(a)  Determine the divergence of each of the vector fields A and B. Taking each of the vector fields in turn, is there a source or sink of field lines at the point (1,1,1)? What does it mean if divA < divB?                                                                    [7]

(b) The divergence theorem states   S A.dS =   V V.AdV, where S is the surface that encloses a volume V .  Use the divergence theorem to evaluate the flux of A out of a sphere of radius R centred at the origin (Hint:  it may be helpful to change coordinate system.) Deduce the flux of B out of the same sphere.     [8]

[15 Marks]