1.  By what percentage does the force due to gravity on a climber change when climbing  from the bottom to the top of Mt. Everest? Use the following values: mass of the      Earth M = 6 × 1024  kg, mass of the climber m = 70 kg, radius of the Earth R = 6370 km, height of Mt. Everest ∆r = 8850 m. Work out the answer in two ways:

●  Put the two values of r (R, and R + ∆r) into the expression for the gravitational force F , and find the percentage difference  × 100%.

●  Use the first two terms of the binomial expansion to show that  ～ , and evaluate the percentage difference this way.

Does the binomial expansion provide a reasonable estimate of the answer?   [10 Marks]

2. Sketch the function f(t) which is defined over the range -π < t < π by:

f = ,0(1)

if  - π < t < 0

if 0 < t < π.

State whether f(t) is odd, even, or neither, and explain the reasoning behind your       answer. Find the Fourier coefficients, a0 , an  and bn , and hence find the Fourier series  that describes the function.                                                                         [10 Marks]

3. The approximate equation for a frictionless pendulum swinging with small amplitude is:

d2 θ

where θ is the angle of inclination from the vertical. The pendulum is held at rest at  an angle of π/12 at t = 0 and then released. Solve the 2nd order differential equation subject to these initial conditions.

When the same pendulum is driven with a force F (t) = cos 3t, the equation becomes:

d2 θ

What is the general solution of this differential equation given the same initial condi-   tions as above?                                                                                           [10 Marks]

4. Sketch the area between the curves defined by y  =  3 - 2x, y  =  x2  and y  =  0,       for positive x. What is the mass of a plate of the same shape and area whose surface  density varies as x?                                                                                     [10 Marks]

Total 40 marks