You are given the following formulae which you may use without proof in your answers, unless otherwise stated.

Geometric series:

A=》

Maclaurin series expansion of the exponential function:

exp(x) =   ,       Vx e 皿.                                      (2)

Maclaurin series expansion of the sine function:

sin(x) =  x_A辛4 ,

Maclaurin series expansion of the cosine function:

cos(x) =  x_A ,

Recurrence relation for Legendre polynomials:

P》(x) = 1,        P4 (x) = x,

PA (x) =   [x (2n - 1) PA一4 (x) - (n - 1) PA一_ (x)] ,        for n 2 2.

(3)

(4)

(5a)

(5b)

Orthogonality of Legendre polynomials:

,0

(PA , P衿）= (     2    

| 2n + 1

if n  m,

if n = m.

(6)

1.  Consider the second order ordinary differential equation

(x_ + x) y′′ (x) + 3x y′ (x) + y(x) = 0,        -1 < x < 1.

(a) Determine and classify ordinary and singular points.

(b)  Seeking a solution of the form y(x) = x岁 L aA xA , a》   0, show that the roots

of the indicial equation r4  and r_ , r4  < r_ , differ by an integer. Write down the recurrence relation for the coefficients.

(c) Determine the series solution corresponding to r_ .

(d)  Show that the solution found in part (c) can be written as

α x   

y(x) =

where α is a real constant.

2.  Consider the second order ordinary differential equation

x y′′ (x) - y′ (x) + 4x³ y(x) = 0.                                     (7)

(a)  Show that the substitution t = x_  turns (7) into an ODE with constant coeffi-

cients.

(b) Using elementary methods, find the general solution to the ODE from part (a).

Express the result in terms of x.

(c)  Seeking a solution of  (7) in the form y(x) = L aA xA辛岁 , a》     0, find the roots r4  and r_ , r4  < r_ , of the indicial equation. You can assume that x = 0 is a regular singular point for (7).

(d)  Show that for r = r_ , the largest root of the indicial equation, the coefficients satisfy

a4  = a_  = a³  = 0,

aA  = -  aA一4          for n 2 4.

Hence conclude, providing justification, that the corresponding solution reads

&

y(x) =↓ a4A x4A辛_  = a》  sin(x_ ).

A=》

3.  Consider Legendre’s equation

(1 - x_ ) y′′ (x) - 2x y′ (x) + n(n + 1) y(x) = 0,        -1 < x < 1.

(a) Define what the Legendre polynomial PA (x) is, in relation to the above equation. (b)  Show that (PA , P衿）= 0 for n  m.

(c) Let f : [-1, 1] - 皿 be a piecewise continuous function with finite jumps and consider its Legendre series expansion f (x) =L aA PA (x). Derive a formula for aA  in terms of f and PA . You may use without proof formula (6).

(d)  Compute P_ (x) from the recurrence relation (5a)-(5b) and check that it is an even function.

4. When looking for a radial solution R(ρ) to the Schr¨odinger’s equation for the hy- drogen atom, one needs to study the ordinary differential equation

R′′ (ρ) +  R′ (ρ) -  R(ρ) + ╱  - 、R(ρ) = 0,                  (8)

where e is an integer number and γ  a physical constant.   The solution R(ρ) is required to satisfy the normalisation condition

|》& IR(ρ)I_ ρ_ dρ = 1.                                             (9)

(a)  Show that R(ρ) s e一/λ_  for ρ - +o.

(b) Writing R(ρ) = e一/λ_ G(ρ), show that G satisfies the differential equation

G′′ (ρ) + ╱  - 1、G′ (ρ) + ┌  - ┐ G(ρ) = 0.

(c)  Show that G(ρ) s ρ卜  for ρ - 0.

(d) When γ = 1 and e = 0, a solution to (8) is given by R(ρ) = C e一/λ_. Determine the positive constant C such that the normalisation condition (9) is satisfied.