Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECOS3022 practice exam solutions

Q1 (25 marks)

Consider a pair of investors A and B: There is only one good - wealth in their economy. A or B only care only about date t = 1 wealth.  (You can assume 6 = 1).  At date t = 1 the economy will be either in state 1, or in state 2.  The investors agree that state 1 is twice as likely as state 2.  In state 1 A will have wealth of 10 and B will have 0: In state 2 A will have 0 and B will have 5: At date 0 neither investor has any wealth but both have access to the Önancial markets with the following payo§ matrix

assets

states     3(1)   4(3) 

Investor B is risk-averse and values his wealth y according to v(y) = 2|y . Investor A is risk-neutral.

a: (1 mark) Are Önancial markets complete here? Explain what does this mean and verify

b: (1 mark) Denote with (q1 ;q2 ) the prices of the above assets. Let q1  = 1 and q2  = q: Use (z1(A);z2(A)); (z1(B);z2(B)) for the asset holdings of investors A an B correspondingly. In these notations write the t = 0 date budget constraints for investors A and B:

c: (2 marks) Denote with y 1(A)  and y2(A)  the state levels of wealth that investor A

can reach. Given her wealth endowment and the fact she trades at the markets above

what trade o§ between y 1(A)  and y2(A)  does A face? You should provide the equation that connects y2(A)  to y 1(A) .

d: (2 marks) Denote with y1(B) and y2(B) the state levels of wealth available to investor B: Given B ís wealth endowment and the fact she trades at the markets above what trade o§ between y 1(B)   and y2(B)   does B face?  You should provide the equation that connects y2(B)  to y 1(B) .

e: (2 marks) Formulate the investorsíoptimization problems in this economy.

f: (3 marks) What price q will result in equilibrium?  Your answer should, of course, respect the budget constraints and the preferences of the investors.

g: (2 marks) What equilibrium allocations of wealth over states would result for the risk-averse investor B? Provide the corresponding optimal y1(B);y2(B):

h: (2 marks) What equilibrium allocations of wealth over states would result for the risk-neutral investor A? Provide the corresponding optimal y1(A);y2(A):

i:  (5  marks) How are these allocations achived through the assets holdings? Provide the corresponding optimal (z1(B);z2(B)) and (z1(A);z2(A)).

j: (2 marks) What are stochastic discount factors (SDF) in general and what role do they play?

k: (1 mark) Calculate the values of the stochastic discount factors for the two states.   Hint:  you need to recover the connection between the SDFs and Arrow security prices.

l:  (2  marks) Who is the representative agent in this economy?  Interpret the values for SDFs you have obtained in j: using the representative agent approach.

Solution q1

a. Yes, det r = _5  0: This means that the investor can channel wealth into either state independently of the other state. Both Arrow securities exist.

b.

z 1(A) + qz2(A)     =   0;  z1(A)  = _qz2(A)

identical for B

c. Either use Arrow security prices (a1 ;a2 ) = (1;q) _    =  (3q _ 4; 3 _ q) :

Then

a1  y1(A) _ 10+ a2y2(A)     =   0

(3q _ 4) y1(A) + (3 _ q)y2(A)     =   10(3q _ 4)                               (1)

Alternatively, holding a portfolio (z1(A);z2(A)) given his wealth endowment and assetsí payo§s investor A can reach

y 1(A)     =   z 1(A) + 3z2(A) + 10 wealth in state 1

y2(A)     =   3z1(A) + 4z2(A)  wealth in state 2.

Express z1(A);z2(A)in terms of y1(A);y2(A):

z 1(A) + 3z2(A)     =   y 1(A) _ 10

3z1(A) + 4z2(A)     =   y2(A)

Solve this as if it is a system of equations with (z1(A);z2(A)) being the unknowns.

3z1(A) + 9z2(A)     =   3y1(A) _ 30

3z1(A) + 4z2(A)     =   y2(A)  subtract

5z2(A)     =   3y1(A) _ 30 _ y2(A)

z2(A)     =   y 1(A) _ 6 _ y2(A)

z1(A)     =   y1(A) _ 10 _ 3z2(A)  = y 1(A) _ 10 _ 3 y 1(A) _ 6 _ y2(A)

z 1(A)     =   y2(A) _ y1(A) + 8

Substitute these z1(A);z2(A)into z1(A) + qz2(A)  = 0 collect the terms and rearrange.

y2(A) _ y1(A) + 8 + q y1(A) _ 6 _ y2(A)   =   0

3y2(A) _ 4y1(A) + 40 + 3qy1(A) _ 30q _ qy2(A)     =   0

3qy1(A) _ 4y1(A) + 3y2(A) _ qy2(A)     =   30q _ 40

This is the same expression as (1).

d. The same process for B provides

a1y1(A) + a2  y2(A) _ 5   =   0

(3q _ 4) y1(B)  + (3 _ q)y2(B)     =   5(3 _ q)

e. For investor A

U(y1(A);y2(A)) = y 1(A) + y2(A)  _→  max   subject to

(y1(A);y2(A))

(3q _ 4) y 1(A) + (3 _ q)y2(A)  = 10(3q _ 4)

For investor B

U(y1(B);y2(B)) =  y 1(B)  +  y2(B)  _ (mBy1;y(a)xB2)   subject to

(3q _ 4) y 1(B)  + (3 _ q)y2(B)  = 5(3 _ q)

f.  Since investor A is risk-neutral the Arrow security prices will refect his beliefs about the states. The vector (a1 ;a2 ) will be collinear to the vector (π1 ;π 2 ) or equivalently

a1                 π 1

3q _ 4           =   2

3 _ q

3q _ 4   =   6 _ 2q =! q = 2:

g. With q = 2 her budget constraint is

2y1(B)  + y2(B)  = 5

The risk-averse investor should be fully insured and receive her expected wealth in each state.

y 1(B)  = y2(B)  = 5=3

h. The risk-neutral investor receives the residual wealth in each state

y 1(A)     =   10 _ y 1(B)  = 

y2(A)     =   5 _ y2(B)  = 

i. For investor A we use

25 3

10 3

=   z1(A) + 3z2(A) + 10

=   3z1(A) + 4z2(A)

to express z1(A);z2(A)in terms of y1(A);y2(A)=  ; : Solve the above

25   =   3z1(A) + 9z2(A) + 30

   =   3z1(A) + 4z2(A)

5z2(A) + 30   =   25 _ 

5z2(A)     =   _  =! z2(A)  = _  :

z 1(A)     =    _ 3z2(A) _ 10 =  + 5 _ 10 =  :

For investor B we use

   =   z1(B)  + 3z2(B)

   =   3z1(B)  + 4z2(B)  + 5

to express z1(B);z2(B)in terms of y1(B);y2(B)=  ; : Solve the above

5

5 3

5 _  z 1(B)

=   3z1(B)  + 9z2(B)

=   3z1(B)  + 4z2(B)  + 5

=   5z2(B)  _ 5 =! 1 _  = z2(B)  _ 1 =! z2(B)  = 

=    _ 3z2(B)  = _  :

Markets for the Önancial assets clear, of course, z 1(B)  = _z 1(A); z2(B)  = _z2(A) :

j. The stochastic discount factor represents probability adjusted ìpriceîfor mov- ing the wealth into a particular state. The numerator a is determined by the Önancial market and will be high when it is hard to combine the portfolio that pays in a given state, or when the assets in such portfolio are expensive. The low probability of the state which is in the denominator will also push this ìpriceîhigher. This reáects the fact that the investor should not be pushing the wealth into a state that is unlikely to occur, since the ìpriceîfor doing so is high. In equilibrium the investor equalized the marginal values of an extra dollar in every state, using the SDFs as the ìpricesî

v1 (wj )      v1 (wk )

Mj                 Mk

(see slide 30).

k. Arrow security prices (a1 ;a2 ) =  ; 

M1  = π 1  = 5 ;  M2  = π 2  = 5

l. The risk-neutral agent is the representative. In general

v1 (wi )

Mi  =

Since v1 (w0 ) is undeÖned in this case, these investors simply do not care about date

0 wealth, we can only recover

M1          v1 (w1 )

M2         v1 (w2 )

Here the representative  agent is risk-neutral,  hence v1 (w)  =  1 for any w:  Thus M1 =M2  = 1 from k is consistent with (2) as in j .

Q2 (20 marks)

Consider an economy with two assets and two states of the world such that the matrix of payo§s of the two assets is

assets

states        3(2) 

Suppose that the prices of the assets are (q1 ;q2 ) = (  ; 2) and the probabilities of the two states are (π; 1 _ π) = (1=2; 1=2).  The initial wealth w0  = 7.  We further adopt the mean variance approach

a: (1 mark) Derive the expected return of the portfolio, 4(z1 ;z2 ).  This should be a function of (z1 ;z2 ) :

b: (2 marks) Calculate the standard deviations r1  and r2  of assets 1 and 2 and the assetsícovariance r12 . Recall the notation r11  = r 1(2)  and r22  = r 2(2) :

c: (2 marks) Derive the standard deviation of the portfolio r (z1 ;z2 )? This should also be a function of (z1 ;z2 ) : Recall that the variance of the portfolio is given by the expression r2 (z1 ;z2 ) = r11 z 1(2) + 2r12 z1 z2 + r22 z2(2) :

d: (1 mark) Write the investorís budget constraint?

e: (5 marks) Derive the e¢ ciency frontier of the portfolio (z1 ;z2 ).  (The frontier should express 4(z1 ;z2 ) in terms of r (z1 ;z2 )). Hint : you should use the expressions for 4 and r from a: and d: and the investorís budget constraint in e:

f: (5 marks) Suppose the investor has the utility function U (r;4) = 4 _ 42 _ r2 ; in the range where it is increasing in 4. What is this investorís optimal portfolio (r;4). Hint : you can formulate this optimization via the Lagrangean approach.

h: (4 marks) Plot the frontier you have derived in e on the graph in (r;4) space. Plot the optimal portfolio you have derived in f on this graph.  Plot also the two portfolios where all the wealth is invested in one of the assets.

q2 solution

a: 41  = ; 42  = 2:5

4 = z1 + z2

b. r11  =  1 _ 2 +    _ 2  =  ; hence r1  = 

r22  =   2 _ 2 +  3 _ 2  =  ; hence r2  = 

r12  =  1 _ 2 _ +    _ 3 _ = _

c. r2 (z1 ;z2 ) = z 1(2) _ z1 z2 + z2(2)  =  z1 _ z22       r (z1 ;z2 ) =  z1 _ z2

d.

z1 + 2z2  = 7

e.

4   =   z1 + z2

r   =   _ z1 + z2

3r   =   _ z1 + z2

4 + 3r   =   4z2

z2     =   4 + r

z1     =   2z2 _ 4r = 2  4 + r_ 4r = 4 _ r

Substitute into the BC

7 =   4 _ r+ 2  4 + r4 _ r

Express 4 = 8 + r: This is the upward sloping arm of the frontier. Using

4   =   z1 + z2

r   =   z1 _ z2

and going throught the same process will provide the downward sloping arm 4 = 8 _ r

f. One has to solve U (r;4) = 4 _ 42 _ r2  _→ max(u;)  subject to 4 = 8+ r: The Lagrangean and the FOCs

L   =   4 _ 42 _ r2 _  4 _ 8 _ r

Lu     =   1 _ 4 _ 入 = 0 =! 1 _ 4 = 入

L     =   _ r + 入 = 0 =! r = 入

From the FOCs

1 _ 4 = r and from the constraint 4 = 8 + r

Put these together and get 1 _  8 + rr, Solve this for r* : The optimal portfolio is: r*  =  ; 4*  = 8+  =  This is plotted as portfolio + on the graph below.

Investing all the wealth into asset 1, one can buy   of this asset, hence such portfolio will have 4 =  = 7; r =  =  ; it is on the downward sloping part of the frontier. This is plotted as ● :

Investing all the wealth into asset 2, one can buy    of this asset, hence such portfolio will have 4 = .  =  ; r = .  =  ; it is on the upward sloping part of the frontier. This is plotted as 6

mu

10

 

 

9

 

 

8

 

 

7

 

 

6

 

0                    1                    2                    3                    4                    5