Q1.  The attached file, Dis vol data .xlsx, contains daily adjusted closing prices for The Walt Disney Company between April 24th of 2017 and April 22nd of 2022 as well as realized variance (calculated using one-minute return data) from December 27th of 2021 to April 22nd, 2022.  Modify the OPTIMIZATION .m code from Week4 to use this Disney data and do the following:

1.  [4 pts] Estimate a GARCH(1,1) model for the variance of Disney daily log returns (the current code does it for simulated return data from the SIMULATE .m code).

See code below.

2.  [4 pts] Report the estimates of your parameters from the GARCH(1,1) model: ω , α 1 and β1 .

ω α 1 β1

9.8223e-06 0.069743 0.90013

3.  [4 pts] Calculate and report the sample variance of Disney log returns as well as the unconditional mean of the variance, E[σt(2)], that is implied by your parameters (make sure to show how you are calculating this from the parameters).  Comment on how well they compare to each other.

The sample variance is var(data daily .ret) = 0.03537%.  We calculate the unconditional variance as:

E  σt(2)    =  = 0.03260%

The unconditional and sample variance seem to match up very well. Even if we multiply their difference by 252 (trading days), the annualize difference is just 0.007%.

4.  [4 pts] Plot the estimated daily variance from your model over the entire dataset as well as the realized variance. Note: You can simply use the realized variance column as your var vec, which was the original simulated variance in the lecture code. Comment on how well the estimated variance from your model compares to the realized variance in the Dec 2021 to April 2022 portion.

Here are the full plot and a plot zoomed  in to the overlap period.   The overlap period looks awful.  Doesn’t really match up at all.

10-3

5

true variance

estimated variance

4

 

3

 

2

 

1

 

0

2017          2018          2019          2020          2021          2022

 10-3

true variance

estimated variance

Nov 2021             Jan 2022            Mar 2022            May 2022

5.  [4 pts] Next, restrict your data to only the dates where the Disney adjusted close data and the realized variance data overlap, then re-estimate your GARCH(1,1) model on this smaller dataset. Report your new ω , α 1  and β1

ωoverlap   α 1,overlap β1,overlap

0.00022007 0.58145 2.1715e-07

6.  [2 pts] Comment on these new estimated parameters (compared to those from the full dataset) as well as whether the plot of estimated variance compared to realized

variance looks any better after estimating on this shorter dataset.                                The parameters are much different, as ω and α 1  are a lot bigger, and β1  is basically zero. This means that the previous squared return dominates the persistence rather than the previous variance, whereas the opposite was the case in the full data set. This does, however, lead to a much better overlap in the plot.

5

 

4

 

3

 

2

 

1

 

0

Dec

 10-3

 true variance

 estimated variance

 

 

2021      Jan 2022      Feb 2022    Mar 2022      Apr 2022     May 2

7.  [3 pts] Do you think the shorter estimate is the better option based on the results you obtained?  Why or why not?  Hint:  Look at the parameters you estimated using the shorter dataset, not just the plot. Also note that there is no right answer here, but it’s about showing your reasoning.

It’s difficult to say which is better. It seems pretty unreasonable, given our model assumptions, that the prior variance would have no weight (as in the shortened model with a near-zero β1 ), but obviously the first model did a terrible job of following during the overlap period.  It seems like there are several things we might try to improve things:

❼ Use more lags in the model

❼ Assume time-varying parameters and maybe estimate the model over

a rolling window

❼ Other suggestions?...

Also, one thing that I was going to ask your groups to do if I had released the assignment earlier was to look at what happened on a couple specific days using the one-minute-return data that I used to calculate realized variance. There were a couple days in the data where Disney stock moved a great

deal overnight.  This overnight movement is reflected in the daily realized volatility, but not in the return data.  For instance, look at the daily data for February 9th and 10th, noting that February 10th was the day that saw the greatest realized variance:

 

Notice that the closing price February  9th was  ✩147.23 and the opening price on Feb 10th was ✩156.02.  Since the realized variance formula I used includes  the  squared  overnight  return,  and  the  daily  return  (calculated using the two daily closing prices) was  much smaller than even this one return, there is little chance to make the daily model catch this realized

variance:

M

RVt  =X rm(2),t + r t − 1)→t,overnight

m=1

Where rm,t   are the one-minute returns on day t and r(t− 1)→t,overnight   is the overnight return from the end of day (t − 1) to the start of day t.

Matlab Code

1       clc ; clear ;   close   a l l ;

2     %  Utilizes   the  simul . mat   f i l e   output  from  the  SIMULATE .m  script   f i l e .

3     %  contains   variables   rvec ,   svec  and  truepara

4       ticker  =  ”DIS”;

5       data  daily  =  readtable ( ticker  +  ”  vol  data . xlsx ”) ;

6       data  daily . l  a d j c l o s e  =  log ( data  daily . AdjClose ) ; 7     %return ;

8       data  daily . ret  =  [NaN;   d i f f ( data  daily . l  a d j c l o s e ) ] ;

9       data  daily  =  data  daily (2: end , : ) ;

10     %  Note :  Uncomment  the   line   below  to   limit   to  the   overlap  time  period 11       data  daily  =  data  daily ( data  daily . Date>=datetime (2021 ,12 ,27) ,:) ;

12      plot ( data  daily . Date , data  daily . ret ) ;

13      var  vec  =  data  daily . realized  var ;

14       t i t l e ( ticker  +  ”  daily   returns ”) ;

15

16     %  set  boundary

17      bound  =  [ [ 0   1 ] ;      % omega  bounds

18                                          [0   1 ] ;      %  alpha  bounds

19                                          [0   1 ] ] ;    %  beta  bounds

20

21     %  function   to  minimize

22      rvec  =  data  daily . ret ;

23      myfun  = @(x)  ❂ loglikelihood  garch11 ( data  daily . ret , x) ;

24

25     %  options   for   local   solver   ( use  fmincon )

26      options  =  optimoptions ( ’fmincon ’, ’Algorithm ’, ’interior ❂point ’, . . . 27                                       ’TolFun ’,   1e ❂ 18,   ’TolX ’,  1e ❂ 18,   ’Display ’,   ’i t e r ’,   . . .

28                                       ’GradObj ’,   ’o ff ’,   ’Diagnostics ’,   ’on ’, . . .

29                                       ’MaxFunEvals ’,   1e7 , ’MaxIter ’,   500) ;

30

31     %  i n i t i a l   values

32       init  para  =  [0 . 15   0 . 79   0 . 1 5 ] ;

33

34     %  run  fmincon

35       [ para , fval , exitflag , output , lambda , grad , hessian ]  =  . . .

36                                     fmincon (myfun , init  para  , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , bound (: ,1) ,bound (: ,2)  , [ ] , options ) ;

37

38      param  table  =  array2table ( para ’, . . .

39                                                                                                                       ”RowNames”,[”omega”  ”alpha”  ”beta ”] , . . .

40                                                                                                                       ”VariableNames ”,”Estimated ”) ;

41      disp ( param  table ) ;

42

43     %  run  MLE  and  compute  the   f i l t e r e d   variance

44       [ lh0 , var  vec0 ]  =  loglikelihood  garch11 ( data  daily . ret , para ) ;

45

46       scrsz  =  get (0 , ’ScreenSize ’) ;

47       set (0 , ’defaulttextinterpreter ’, ’latex ’)

48       set (0 , ’defaultaxesfontname ’, ’times ’)

49       set (0 , ’DefaultAxesFontSize ’,30)

50       set (0 , ’DefaultTextFontSize ’,30) ;

51

52       f i g =figure ( ’Position ’,[20 ,20 ,900 ,600] , ’Name ’, ’’, ’Color ’, ’w’  , . . . 53                                       ’Position ’,[1   scrsz (4) /20   scrsz (3) /2   scrsz (4) /1 . 5]) ;

54      hold  on

55      k1=plot ( data  daily . Date , var  vec , ’linewidth ’,3) ;

56      k2=plot ( data  daily . Date , var  vec0 , ’r ❂❂’, ’linewidth ’,3) ;

57     %k3=plot ( data  daily . Date , data  daily . ret . ˆ2 , ’g ❂❂ ’,’linewidth ’,3) ;

58      kk=legend ( [ k1 , k2 ] , ’true   variance ’, ’estimated   variance ’) ;

59       set (kk , ’location ’, ’northeast ’)