1. This is a Moodle quiz question provided separately.                              [20 MARKS]

2. Let Yi be independent random variables each following a negative binomial distribution with probability mass function

mean E(Yi ) = µi  and variance Var ╱Yi、= µi +  for φ > 0.

Consider the generalised linear model

log(µi ) = xi β 7                                                    (1)

for these data, where 7 is a p-dimensional parameter vector.

(a) Explain how the maximum likelihood estimator  is obtained, making reference

to the equation

(m)  = ┌X β W (m − 1) X ┐ − 1 X β W (m − 1) (1(m − 1) + :(m − 1) ).

(2)

Please note that you are required to define X and 1 in your answer.  However, you are not required to derive equation (2). You are also not required to define the elements of W and : for this part.

[4 MARKS]

(b) Let wi  be the ith diagonal element of W and zi  the ith element of z in equation

(2). Express wi  and zi  in terms of µi  and φ .                                      [4 MARKS]

(c) 616 diabetic patients were followed up over an eight-year period to study factors associated with the incidence of severe hypoglycaemia  (SH), a complication of Type 2 diabetes. The duration of follow-up time for each patient was recorded, and in a total of 3953 patient-years of follow-up, 52 patients experienced 66 episodes of SH. A multivariable negative binomial regression model was fitted to the number of episodes, with the estimated rate ratios (RR) and their 95% confidence intervals shown in the table below.

Interpret the effect of “time on insulin”, making reference to an appropriate point estimate and confidence interval from the table.                                [3 MARKS]

(d) Let ni  be the time in years for which the ith patient was followed up. Write down a modified version of equation (1) that includes a term for ni . Explain the role of this term in the model.

[4 MARKS]

(e) An alternative model to the negative binomial model for count data is the Poisson

model. Give one similarity and one difference between the two models.

[2 MARKS]

(f) How would you decide which of the two models to use? Give one reason why the

study authors may have chosen the negative binomial model in this case.

[3 MARKS]

3. A company surveyed its 2276 employees to find out if they would like to continue to work remotely for the remainder of the year.  In addition to answering the question of interest on remote work, (R: yes or no), the employees provided information about their gender (G: male or female), age group (A: under 30, 30-49, 50+), whether they had a suitable space to use as a home office, (H: yes,no) and the distance (D) from home to work in miles.

(a) Describe a suitable generalised linear model that can be used to analyse these

data, stating the distribution of the response, your choice of link function and the model equation. Make sure to use appropriate mathematical notation and to carefully define all the terms used.                                                     [6 MARKS]

(b) When focusing on just some of the variables (remote work, R, gender, G, and

availability of home office space, H), the data can be displayed in a contingency

table as follows.

Remote work   yes    no   

Home office   Gender                             

yes                 female              911   538

male                 44     456

no                  female              3       43

male                 2       279

Several loglinear models for these data are summarised in the table below.