Question 1: This question relates to type-1 fuzzy sets and their operations. [overall 25 marks]

a.  Discuss with some brief examples, the inadequacies of classical 2-valued logic in describing the real world.

[2 Marks]

b .  Explain what a fuzzy set is.

[2 Marks]

c.  You are presented with two bottles, X and Y. You are told that the truth value that   ‘bottle X is full ’ is 0.5, while the probability that ‘bottle Y is full’ is 0.5. Discuss the    difference between these two statements, using fuzzy set theory, fuzzy membership values and probabilities to illustrate various scenarios of empty, partially-full and full bottles.

[4 Marks]

d.  Give the informal definition of a linguistic variable, by means of a fully-labelled            illustrative example with four associated terms (fuzzy sets). In doing so, give a specific example of the following two concepts:

i .      An element may have partial membership of a set.

ii .      An element may be a member of more than one set at the same time.

[7 Marks]

e.  Explain the t-norm and t-conorm operators. Give examples with figures of fuzzy sets to illustrate two common t-norms and two common t-conorms respectively. You need to  use R and the FuzzyR toolbox to generate the fuzzy sets and to plot the figures.

[10 Marks]

Question 2: This question is about Mamdani-style inference.

[overall 25 marks]

a .  Given three linguistic input variables where the universe of discourse are integers from

0 to 10, (quality of) Code, (quality of) Report, and (quality of) Engagement, each with the given terms:

Code

poorc  = 1.0/0 + 0.9/1 + 0.6/2 + 0.3/3 + 0.1/4

averagec  = 0.1/2 +0.5/3 + 0.8/4 + 1.0/5 + 0.8/6 + 0.5/7 + 0.1/8 goodc  = 0.1/6 + 0.3/7 + 0.6/8 + 0.9/9 + 1.0/10

Report

poorr  = 1.0/0 + 0.9/1 + 0.7/2 + 0.4/3 + 0.2/4

averager  = 0.5/3 + 0.7/4 + 1.0/5 + 0.7/6 + 0.5/7

goodr  = 0.2/6 + 0.4/7 + 0.7/8 + 0.9/9 + 1.0/10

Engagement

poore  = 1.0/0 + 0.8/1 + 0.6/2 + 0.4/3 + 0.3/4

averagee  = 0.5/3 + 0.8/4 + 1.0/5 + 0.8/6 + 0.5/7

goode  = 0.3/6 + 0.4/7 + 0.6/8 + 0.8/9 + 1.0/10

and the single linguistic output variable (category of) Grade, with three terms:

Grade

low = 1.0/0 + 0.9/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.3/4 + 0. 1/5

medium = 0.1/2 +0.3/3 + 0.7/4 + 1.0/5 + 0.7/6 + 0.3/7 + 0.1/8 high = 0. 1/5 + 0.3/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 0.9/9 + 1.0/10

calculate the fuzzy set result of applying Mamdani inference on input values of Code=6, Report=7 and Engagement=3 when using the rules:

R1: IF Code is poorc OR Report is poorr OR Engagement is poore, THEN Grade is low

R2: IF Code is averagec AND Report is averager AND Engagement is averagee THEN Grade is medium

R3: IF Code is goodc AND Report is goodr AND Engagement is goode THEN Grade is high

R4: IF Code is goodc AND Report is averager,

THEN Grade is medium

R5: IF Report is goodr AND Engagement is averagee,

THEN Grade is medium

R6: IF Code is averagec AND Report is averager AND Engagement is goode, THEN Grade is high

Note that you should not defuzzify the output set at this stage.

[8 Marks]

b.  Describe and give basic formulae for two alternative methods of numeric                defuzzification, and then use these two methods to defuzzify the output from Q2(a) above.

[8 Marks]

c.  Based on the same universe of discourse of the integers from 0 to 10, provide an       example of two clearly different output fuzzy sets on which one of your chosen           defuzzification method gives the same result. Discuss how other numeric metrics may be used to distinguish these output sets.

[9 Marks]

Question 3: This question is about TSK-style inference.                           [overall 25 marks]

a.  Using the same scenario in Question 2, describe how you would change that to a       zeroth-order Takagi-Sugeno-Kang (TSK) fuzzy inference system and how it works.     Include a diagrammatic representation of the inference process (use continuous fuzzy sets for antecedents).

[10 Marks]

b.  Using the same scenario in Question 3.a, explain how first-order TSK inference differs from zeroth-order, and then provide an intuitive interpretation of the first-order         inference process in terms of the output surface produced (in the case of a two-input, one-output system).

[8 Marks]

c.  Explain the differences between Mamdani and TSK inference, and hence explain why TSK inference is usually used in control applications.

[7 Marks]