Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Math 180C

PRACTICE MIDTERM 2

1.  (30 points) Let Y > 0 be a random variable having Gamma distribution with parameters

2 and λ, i.e., the p.d.f. of Y is given by

fY (y) = λ2yeAu ,        y > 0,                                           (1)

and let X ∼ Unif[0, Y] be a random variable uniformly distributed on [0, Y]. It is given that E(X) = 1.

(a)  (10 points) Determine the unknown parameter  λ.   [Hint.   Compute E(X) with

unknown parameter λ.]

(b)  (10 points) Determine

P (X ≤ t |Y = y) =             ,   0 ≤ t < y,                              (2)

 

for y > 0.

(c)  (10 points) Using the results from (a) and (b), compute P (X ≤ t) and determine the marginal distribution of X .

 

2.  (35 points)  Certain device consists of two components, A and B. Whenever one of the components fails, the whole device is immideately replaced by a new one. Components A and B are the only components that can fail.

Suppose that the lifetimes of components A and B (in days) are independent random variables both having exponential distributions with rate λ.  Let N(t) be the renewal process counting the number of the replacements of the device on the time interval [0, t].

(a)  (10 points) Express the interrenewal times in terms of the lifetimes of components

A and B (hint: this is not a sum) and compute the distribution of the interrenewal times.

(b)  (15 points) Determine an asymptotic expression for the mean age of the device at

time t in the long run.

(c)  (10 points) What is the long run probability that the device will fail within next

24 hours?

 

3.  (35 points) The climate of a certain tropical country is characterized by the alternating periods of rain and (sunny) periods without precipitations.  Let (Xi )i0  and (Yi )i1  be the random variables describing the lengths of the consecutive rainy and sunny periods of time correspondingly, and assume that (Xi )i0  and (Yi )i0  are two independent families of 乞.乞.d. continuous random variables.

We start the observation at the beginning of one of the rainy periods and count the number of times the weather changes from sunny to rainy. Suppose that

E(X1 ) = α,    Var(X1 ) = 2α2 ,    E(Y1 ) = β,    Var(Y1 ) = 2β2                          (3)

for some α > 0, β > 0.

(a)  (20 points) Determine an asymptotic expression (linear and constant terms) of the

expected number of times the weather changes from sunny to rainy on the interval [0, t] for t 》 1.

(b)  (15 points) What is the long run average fraction of time that the weather in this

country is sunny?