PART A

Answer all questions from this section. Explain the intuition in each question.

A.1  Consider an economy with three dates t = 0, 1, 2 and a single, all-purpose good at each date.

There is a continuum of ex-ante identical agents of measure 1. Each agent has an endowment of one unit of the good at date t = 0 and nothing at dates t = 1, 2. At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption. With probability 1/2 he expects to be an early consumer, who only values consumption at date 1.  With the complementary probability he expects to be a late consumer, who only values consumption at date 2.  Note that he never

values consumption at date 0. Each agent has preferences represented by

u(c) = ln(c).

In order to provide for future consumption, each agent can invest in two assets, a short asset and a long asset.  The short asset produces r0 = 1.25 unit of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1.  The long asset produces R = 2 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0 and produces r = 0 at date 1.  At date 0 each agent invests the amount x in the long asset and the amount y in the short asset. The portfolio (x, y) must satisfy the budget constraint x + y < 1.  Let c1  denote the amount consumed at date 1 by an early consumer and c2  denote the amount consumed by a late consumer at date 2. Note that he will consume either c1  or c2  but not both.

(a) Find the feasibility constraints in the case of a benevolent social planner who maximizes

the agents’ expected utility.   What is the efficient  (i.e., social planner) solution for the investment portfolio (x, y) and the consumption plan (c1 , c2 )?

ANS: The social planner’s problem is

max u(c1 ) + u(c2 )

subject to

x + y

c1 c2

<   1

<   r0y

<   Rx + r0 (r0y _ c1 )

All constraints are binding [Student can use any method in Lecture 1 or Lecture 4 to prove this].  By solving the problem, we get x = , y =  , c1  = r0  = 1.25, c2  = R = 2.  [The derivation must be correct.]

Suppose that a financial market opens at date 1, i.e., after they learn whether they are early or late consumers.

(b) Find the equilibrium price P of the long asset at date 1. Write down the consumption plan

(c1 , c2 ) and the investment portfolio (x, y) in equilibrium. (Explain carefully why this is an equilibrium.)

ANS: When the price of one unit of long asset is P < R (otherwise, the late consumer does not want to sell), the agent’s problem is

max u(c1 ) + u(c2 )

subject to

x + y < 1.

c1  < r0y + Px

r0y

P

[Students do not need to provide the optimization problem or feasible constraints.]             Equilibrium price is P = r0 .  [If a student explicitly states that  “the price P of the long asset is in the unit of the short asset, rather than in the unit of the consumption good,” then P = 1 is the correct answer.]

If P > r0, then early consumers prefer to buy the long asset at t = 0 and sell it at t = 1 because the return of the long asset P is larger than the return of the short asset r0 . The late consumers prefer to buy the long asset at t = 0 and keep them at t = 1 to get R > max{r0(2) , }.  Hence, in terms of the long asset, supply > 0 demand = 0, and the optimal investment at t = 0 is x = 1 and y = 0.  If P < r0, then early consumer prefer to buy the short asset at t = 0 because the return of the short asset r0  is larger than the one of the long asset P . The late consumers prefer to buy the short asset at t = 0 and buy the long asset at t = 1, because  > R > r0(2). Hence, in terms of the long asset, supply = 0 < demand, and x = 0 and y = 1.

With P = r0 , we get c1  = r0 (x + y) = r0  and c2  = (x + y)R = R.  The market clearing condition determines price:  x =   . Hence, x = y =  .  [In the derivation of x = y =  , the market clearing condition with P = r0  must be provided.]

(c) Illustrate the feasibility constraints of problems in (a) and (b) in a graph.  In the same graph, show the equilibrium market allocation and discuss why it is efficient or inefficient. ANS: When u(c) = ln(c), i.e., when the relative risk aversion is one, the financial market equilibrium is efficient.   (Allen and Gale, Figure 3.2).   [Many answers are possible, e.g., outcomes in (a) and (b) are the same, RRA = 1 gives the efficient outcomes, etc.]

(d)  Suppose, now, the agents have preference u(c) = . How would the consumption plans in (a) and (b) change as the relative risk aversion σ changes? Use the graph in (c) to discuss (in)efficiency of equilibrium in three cases: σ > 1, σ < 1, and σ = 1 (Recall that u(c) = ln(c)

when σ = 1).  [You do not need to compute (c1 , c2 ). Provide a clear explanation.] ANS: As we can see in (b), financial market equilibrium does not depend on σ .

The social planner’s solution changes: u/ (c1 ) = u/ (c2 ). When σ = 1, the social planner’s solution is c1  = r0  and c2  = R.  When agents are more risk averse  (i.e., σ  >  1), their indifference curve is steeper and  = ( )-1/σ  > .  Then, as we can see in the graph of (c), c1  > r0  and c2  < R. On the other hand, when agents are less risk averse (i.e., σ < 1), their indifference curve is flatter and  = ( )-1/σ  < . Hence, as we can see in the graph of (c), c1  < r0  and c2  > R. Equilibrium is not efficient unless σ = 1.  [Students can discuss the comparative statics in various ways.]

A.2 In our economy there are three dates t = 0, 1, 2 and a single, all-purpose good at each date.

There is a continuum of ex-ante identical agents of measure 1. Each agent has an endowment of one unit of the good at date t = 0 and nothing at dates t = 1, 2. At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption. With probability 1/2 he expects to be an early consumer, who only values consumption at date 1.  With the complementary probability he expects to be a late consumer, who only values consumption at date 2.  Note that he never

values consumption at date 0. Each agent has preferences represented by

u(c) = ln(c).

There are two assets, a short asset and a long asset. The short asset produces one unit (r0 = 1) of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1. The long asset produces R = 2 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0. If instead it is liquidated at date 1, it produces r = 0.75.

Suppose there is a bank operating in a perfectly competitive sector (e.g., their payoffs are zero because of free entry).  At date 0 the agents deposit their endowments in the bank.  The bank allocates all agents’ endowments in a portfolio of x units of the long asset and y units of the short asset.  The portfolio (x, y) must satisfy the budget constraint x + y < 1.  Let c1  denote the amount consumed at date 1 by an early consumer and c2  denote the amount consumed by a late consumer at date 2. Note that he will consume either c1  or c2  but not both.

(a) What is the banking solution (where late consumers do not withdraw deposits in period

1)? That is, what portfolio and consumption levels will the bank choose?

ANS: The banking problem is

max u(c1 ) + u(c2 )

subject to

x + y < 1.

c1  < r0y

c2  < Rx + r0 (r0y _ c1 )

The first-order condition is r0u/ (2r0y) _ Ru/ (2R(1 _ y)) = 0, and thus, We get x = , y =  , c1 = r0 = 1, c2 = R = 2.  [Students must explain how they derive the solution.]

(b) Explain whether, given the portfolio and consumption levels obtained in (a), there exists

an equilibrium with a bank run.

ANS: A bank run is an equilibrium. Suppose that all consumers run to the bank at t = 1. To avoid insolvency, the bank needs c1  = r0  = 1 while its resource is at most rx + r0y =  +  = 0.875 < c1  = 1. Thus, a late consumer runs to the bank because otherwise zero return at t = 2.

(c)  Suppose that the bank wants to avoid the possibility of a bank run.  Write the feasibility constraints of the bank’s problem and decide whether the constraints are binding or not. Explain your intuitions.

ANS: If the bank wants to avoid the possibility of a bank run, it maximizes

u(c1 ) + u(c2 )

subject to

x + y < 1

c1  < r0y

c2  < Rx + r0 (r0y _ c1 )

c1  < rx + r0y.

The feasibility constraints at t = 0 and t = 2 are binding, because the agent does not value consuming the good at t = 0 or saving the good after t = 2.

By (b), c1  = rx + r0y must be binding. We can show that c1  = r0y is binding in various ways (Lecture note 4).

Method 1: draw the feasible set in (c1 , c2 ) plane and show that the indifference curve meets the boundary when both c1 = r0y and c1 = rx + r0y hold.

Method 2:  guess-and-verify.   Assume that  c1   < r0y.   We plug c1   = r(1 _ y) + y and c2 = 2(R(1 _ y) + y) _ (r(1 _ y) + y) into the objective function, and derive the first-order condition.

=                                        ;

0.25

0.75 + 0.25y = 3.25 _ 2.25y

Given parameters, y that solves the first-order condition does not satisfy c1  < r0y .

(d)  Given your answer to (c), if the bank wants to avoid the possibility of a bank run, what level of consumption (c1 , c2 ) will it offer to the consumers?

ANS: The bank has to have enough resources that the consumers do not want to run: c1  < rx + r0y . With the constraints in a), c1  < 2r0y and x + y < 1. By solving these linear equations (binding), we get x =  , y =  , and c1 = r0  . Lastly, c2 = 2Rx = R  . [Students can stop here]

We remark that the consumption  at t  =  1 is lower than its first best level while the consumption at t = 2 is higher:  c1   < r0 , c2   > R and x  >  , y  <  .   This incentivizes late consumers not to run.  Under this contract, there is no equilibrium with a bank run: i.e., there is no equilibrium with m e (0, 1] such that a fraction m of late consumer want to run.  For any m, if  +   customers run to the bank at t =  1, the bank liquidates m  =  m unit of long assets.   The rest of the long asset x _ m  =  x(1 _ m) produces Rx(1 _ m) = c2  goods, which suffices for late customers  who did not run at t = 1.

(e) Would the optimal investment y in (d) be larger or smaller than its first best value in (a)?

Explain the intuitions.

ANS: in order to avoid the possibility of bank run, the bank chooses a safer contract (i.e., c1  < rx + r0y < r0 ). The lower level of consumption c1  decreases the marginal value of an increase in y, because the short has a lower return than the long asset at t = 2. Hence, the optimal level of y is smaller than that in (a).

A.3  Consider an economy with three dates t = 0, 1, 2 and a single, all-purpose good at each date.

There are three regions in the economy. In each region there is a competitive banking sector. In each region there is a continuum of ex-ante identical “local” agents of measure 1 (agents cannot move to a different region). Each agent has an endowment of one unit of the good at date t = 0 and nothing at dates t = 1, 2.  In order to provide for future consumption, each agent deposits his endowment in the representative bank of his region. The bank can invest the deposit in two assets, a short asset and a long asset. The short asset produces one unit (r0 = 1) of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1.  The long asset produces R = 2 units of the

good at date 2 for every unit invested at date 0. If instead it is liquidated at date 1, it produces r = 0.75.

At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption.  The probability of being early or late consumer depends on the state of nature that occurs.  There are two, equally likely, states of nature, denoted by S1  and S2, one of which is realized at t = 1. The following table indicates the proportion of early consumers in each region depending on the state of nature (the letters A, B , C indicate the three regions).

Note that the average proportion of early (and late) consumers in the entire economy is 0 .5 in either state of nature. The proportion of early consumers in region C is the same in both states. Each agent has preferences represented by

u(c) = ln(c).

(a)  Determine the efficient solution (optimal allocation of risk) in the case of a benevolent social

planner who maximizes the sum of the agents’ expected utility in all regions.

ANS: Since the average proportion of early consumers is 0 .5 in both S1, S2 , the social planner’s problem is equivalent to solve a single region problem with λ = 0.5.

max u(c1 ) + u(c2 )

subject to

x + y < 1.

c1  < y

c2  < Rx + (y _ c1 )

All constraints are binding [Students can use any method in Lecture 1 or 4 to prove this.] By solving this optimization problem, we get x = , y =  , c1 = 1, c2 = R = 2.  [Derivation of the solution must be included and correct.]

(b)  Suppose that the interbank network is complete and that all banks are allowed to exchange

deposits at date 0. Write down the amounts of interbank deposits that each bank holds in other regions.