All work must be submitted anonymously.   Please ensure that you add your candidate  number and the module code to the template answer sheet provided.  Note that the candidate number is a combination of four letters plus a number, e.g. ABCD9. You can find your candidate number in your PORTICO account, under  “My Studies” then the  “Examinations” container.  Please, note that the candidate number is NOT the same as your student number (8 digits), which is printed on your UCL ID card.  Submitting with your student number will delay marking and when your results might be available.

Page limit:  15 pages

Your answer should not exceed this page limit. This page limit is generous to accommodate students with large handwriting.  We expect most of the submissions to be significantly shorter than the set page limit. If you exceed the maximum number of pages, the mark will be reduced by 10 percentage points, but the penalised mark will not be reduced below the pass mark: marks already at or below the pass mark will not be reduced.

Answer  TWO questions from Part A  and  TWO questions from Part B.

Questions  in Part A  carry 25 per cent  of the  total mark  each  and  questions  in Part B  carry 25 per cent of the total mark each.

In cases where a student answers more questions than requested by the examination rubric, the policy of the Economics Department is that the student’s first set of answers up to the required number will be the ones that count (not the best answers). All remaining answers will be ignored.

Allow enough time to submit your work. Waiting until the deadline for submission risks facing technical problems when submitting your work, due to limited network or systems capacity.

By submitting this assessment, I pledge my honour that I have not violated  UCL’s Assessment Reg-  ulations  which  are  detailed  in https://www.ucl.ac.uk/academic-manual/chapters/chapter-6-student-  casework-framework/section-9-student-academic-misconduct-procedure, which include (but are not lim- ited to) plagiarism,  self-plagiarism,  unauthorised  collaboration  between  students,  sharing  my  assess-  ment with  another student or third party,  access  another student’s  assessment, falsification,  contract  cheating,  and falsification of extenuating circumstances.

PART A

Answer TWO questions from this section.

A.1  Consider an economy with three dates t = 0, 1, 2 and a single, all-purpose good at each date.

There is a continuum of ex-ante identical agents of measure 1. Each agent has an endowment of one unit of the good at date t = 0 and nothing at dates t = 1, 2. At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption. With probability 1/2 he expects to be an early consumer, who only values consumption at date 1.  With the complementary probability he expects to be a late consumer, who only values consumption at date 2.  Note that he never

values consumption at date 0. Each agent has preferences represented by

u(c) = ln(c).

In order to provide for future consumption, each agent can invest in two assets, a short asset and a long asset.  The short asset produces r0 = 1.25 unit of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1.  The long asset produces R = 2 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0 and produces r = 0 at date 1.  At date 0 each agent invests the amount x in the long asset and the amount y in the short asset. The portfolio (x, y) must satisfy the budget constraint x + y < 1.  Let c1  denote the amount consumed at date 1 by an early consumer and c2  denote the amount consumed by a late consumer at date 2. Note that he will consume either c1  or c2  but not both.

(a) Find the feasibility constraints in the case of a benevolent social planner who maximizes

the agents’ expected utility.   What is the efficient  (i.e., social planner) solution for the investment portfolio (x, y) and the consumption plan (c1 , c2 )?

Suppose that a financial market opens at date 1, i.e., after they learn whether they are early or late consumers.

(b) Find the equilibrium price P of the long asset at date 1. Write down the consumption plan

(c1 , c2 ) and the investment portfolio (x, y) in equilibrium. Explain carefully why this is an equilibrium.

(c) Illustrate the feasibility constraints of problems in (a) and (b) in a graph.  In the same graph, show the equilibrium market allocation and discuss why it is efficient or inefficient.

(d)  Suppose, now, the agents have preference u(c) = . How would the consumption plans in (a) and (b) change as the relative risk aversion σ changes? Use the graph in (c) to discuss (in)efficiency of equilibrium in three cases: σ > 1, σ < 1, and σ = 1 (recall that u(c) = ln(c) when σ = 1).  [You do not need to compute (c1 , c2 ). Provide a clear explanation.]

A.2 In our economy there are three dates t = 0, 1, 2 and a single, all-purpose good at each date.

There is a continuum of ex-ante identical agents of measure 1. Each agent has an endowment of one unit of the good at date t = 0 and nothing at dates t = 1, 2. At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption. With probability 1/2 he expects to be an early consumer, who only values consumption at date 1.  With the complementary probability he expects to be a late consumer, who only values consumption at date 2.  Note that he never

values consumption at date 0. Each agent has preferences represented by

u(c) = ln(c).

There are two assets, a short asset and a long asset. The short asset produces one unit (r0 = 1) of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1. The long asset produces R = 2 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0. If instead it is liquidated at date 1, it produces r = 0.75.

Suppose there is a bank operating in a perfectly competitive sector (e.g., their payoffs are zero because of free entry).  At date 0 the agents deposit their endowments in the bank.  The bank allocates all agents’ endowments in a portfolio of x units of the long asset and y units of the short asset.  The portfolio (x, y) must satisfy the budget constraint x + y < 1.  Let c1  denote the amount consumed at date 1 by an early consumer and c2  denote the amount consumed by a late consumer at date 2. Note that he will consume either c1  or c2  but not both.

(a) What is the banking solution (where late consumers do not withdraw deposits in period

1)? That is, what portfolio and consumption levels will the bank choose?

(b) Explain whether, given the portfolio and consumption levels obtained in (a), there exists

an equilibrium with a bank run.

(c)  Suppose that the bank wants to avoid the possibility of a bank run.  Write the feasibility constraints of the bank’s problem and decide whether the constraints are binding or not. Explain your intuitions.

(d)  Given your answer to (c), if the bank wants to avoid the possibility of a bank run, what level of consumption (c1 , c2 ) will it offer to the consumers?

(e) Would the optimal investment y in (d) be larger or smaller than its first best value in (a)?

Explain your intuitions in details.

A.3  Consider an economy with three dates t = 0, 1, 2 and a single, all-purpose good at each date.

There are three regions in the economy. In each region there is a competitive banking sector. In each region there is a continuum of ex-ante identical “local” agents of measure 1 (agents cannot move to a different region). Each agent has an endowment of one unit of the good at date t = 0 and nothing at dates t = 1, 2.  In order to provide for future consumption, each agent deposits his endowment in the representative bank of his region. The bank can invest the deposit in two

assets, a short asset and a long asset. The short asset produces one unit (r0 = 1) of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1.  The long asset produces R = 2 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0. If instead it is liquidated at date 1, it produces r = 0.75.

At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption.  The probability of being an early or late consumer depends on the state of nature that occurs. There are two, equally likely, states of nature, denoted by S1  and S2, one of which is realized at t = 1. The following table indicates the proportion of early consumers in each region depending on the state of nature (the letters A, B , C indicate the three regions).

Note that the average proportion of early (and late) consumers in the entire economy is 0 .5 in either state of nature. The proportion of early consumers in region C is the same in both states. Each agent has preferences represented by

u(c) = ln(c).

(a)  Determine the efficient solution  (optimal allocation of risk) in the case of a benevolent

social planner who maximizes the sum of the agents’ expected utility in all regions and can transfer the good across regions.

(b)  Suppose that the interbank network is complete and that all banks are allowed to exchange

deposits at date 0. Write down the amounts of interbank deposits that each bank holds in other regions.

(c)  Suppose the state S1  is realized.  In the complete network as in (b), describe the role of interbank deposits in achieving the optimal allocation at date 1 and 2.

(d) If banks A and B are not allowed to exchange deposits, is the optimal allocation possible? Explain your intuitions in details.

PART B

Answer TWO questions from this section.

B.1  Consider the Kyle (1985) model, but assume that instead of a single informed trader there are

N > 1 informed traders, who all perfectly observe the final value of the security v but not the equilibrium price at the time they determine their quantity demanded xi .

(a)  Suppose that market makers post the price schedule described by equation p(q) = µ + λq , where q is the net order flow q =      xi + u and µ = E[v]. Assuming that each informed trader uses the following order submission strategy:

xi = Xi(v) = β(v - µ)  for i e {1, .., N},

find the value of β for which a Nash equilibrium exists, determine how β is affected by N , and explain intuitively why.

(b)  Suppose now that investors follow the order submission strategy derived in step (a). Show

that in this case the market makers’ pricing strategy is given by equation p(q) = µ + λq , and find the value of λ that they optimally choose.

(c) What is the market depth in equilibrium,  and how is it affected by an increase in the number of informed traders, N? What is the economic intuition for this result?

B.2  Consider a modified version of the static model by Kyle (1985) where market makers conjecture

that the informed trader, in equilibrium, may have the incentive to include a random component in his order, thus increasing the noise in the market. Hence, their conjecture about the trading strategy of the insider is:

x = β(v - µ) + φ,

where φ is normally distributed with mean zero and variance σφ(2), (that is φ ～ N (0, σφ(2)) and it is such that Cov(φ, x) = Cov(φ, u) = Cov(φ, v) = 0).

(a) Assume that competitive market makers post the following price schedule: p(q) = µ + λq,

where q = x + u is the net order flow.  Find the competitive value of λ.  Is market depth higher or lower when compared to the baseline Kyle model? Explain intuitively why.

(b)  Solve the maximization problem of the informed trader, that is the value of x that solves

max E [x(v - p)Iv]

x

when the informed trader conjectures that the price schedule is p = µ + λq.  What is the optimal value of φ, in equilibrium? Explain your answer.

B.3  Consider the static model by Kyle (1985), where (i) market makers are risk neutral and perfectly competitive, (ii) the asset value is v ～ N (µ, σv(2)), (iii) the informed investor’s order is x = β(v -µ), and the noise traders’ order is u ～ N (0, σu(2)), independent of v; and (iv) market makers only observe the total net order q = x + u.  Suppose that the insider is risk-averse (with constant coefficient of absolute risk aversion b > 0) and that he liquidates any amount of the security that he buys at a liquidation value v + 8, where 8 ～ N (0, σe(2)), independent of u and v.  At the time of trading the informed investor knows the realization of v but not that of 8. This noise in his signal implies that in taking long or short positions based on his privileged information, he bears some risk.

(a) Write down the mean-variance objective function of the insider, and obtain his demand

function from the solution of the first order condition associated to the insider’s expected utility maximization problem. Identify the insider’s aggressiveness β RA .

(b) Execution risk is the risk that a transaction will execute at a price that is very far away from recent market prices.  Denoting by β K  the insider’s trading aggressiveness in the baseline Kyle (1985) case, show that β RA  < β K  (you can assume that the equilibrium value of the market impact is positive: λ > 0). What is the intuition for this result? How does it relate to execution risk? What happens to market liquidity?

B.4 In the lecture, we have investigated the situation in which order-processing costs are assumed

to be γ per share traded. Consider the following alternative assumptions:

(a) Assume that order-processing costs are k per transaction.  Compute the bid-ask spread in

this case and show that it is decreasing with the size of the transaction. Which features of the technology of trading would lead you to think that this is a realistic model of order- processing costs?

(b) Assume that order-processing costs are k per euro traded. Show that the absolute bid-ask

spread is increasing in the security’s underlying value and the relative bid-ask spread is constant, in contrast with the expressions found in the lecture where order-processing costs are a constant γ per euro traded, irrespective of the share value.