SECTION A

1.       Answer all of the following questions.

(a)      Consider the following economy:

(i)       4 commodities: and are consumption goods, and are the production inputs labour and capital.

(ii)       2 consumers with utility functions 1(1, 1) and 2(2, 2).

(iii)      Endowments: ̅1  = ̅2  = 1  = 2  = 0, 1  > 0, 2  > 0, 1  > 0,

and2  > 0 .

(iv)      2  producers  with  production  functions: = ( , )   and =

( , ).

Suppose  that  the  government  subsidises  commodity :  The  producer receives pounds for each unit of sold, whereas the consumers only pay − for each unit of consumed. Here, is the subsidy offered by the   government.   Derive   the   conditions   for   Pareto   optimality,   i.e., consumption,  production  and  overall  efficiency  and  investigate whether these are satisfied in the general competitive equilibrium outcome.

(b)      Consider  the  same  problem  as  in  (a),  but  suppose  that  the

government also collects a tax so that the  producer of only receives − for each unit of sold. Investigate whether the new general  competitive  equilibrium  outcome  satisfies  production  and overall efficiency.

(c)      Consider   a   decision   rule   that,   for   every   preference   profile (consisting   of   rational   preference   relations),   selects   a   social preference relation  ≿  as follows.  Let be the individual with the highest NHS number and let ≿ be individual ’s preference relation. The social preference relation ≿ reverses the preferences of . That is, for any alternatives and , ≿ if and only if ≿ . That is, if

prefers to, then society prefers to . Evaluate whether this decision  rule  satisfies  each  of  the  four  conditions  in  Arrow’s impossibility theorem.

(d)      Suppose there  are six  patient-donor  pairs  in a  kidney exchange programme. The compatibility matrix and the priority order are given below:

0

1

=

(0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1    0

0    1

0    1

1    0)

(1)             2

(2)             6

(3)             3

, (4)             4

)         1

Furthermore,  the  patient-donor  pairs  have  the  following  non- dichotomous preferences:

1             2             3             4             5             6

3

2

4

5

3

4

6

1

5

6

4

1

1

5

1

6

3

2

5

2

4

3

First use the TTC mechanism to find a matching, then draw the compatibility graph and find all priority matchings.

(e)      We learned in class that priority matchings are Pareto efficient and

maximise the number of transplants. Using your answer in (d), show that  this  is  not  true  in  the  particular  scenario  described  in  (d). Explain why this might be the case.

2.       Answer all of the following questions, (a), (b) and (c).

(a)      Consider the following economy:

(i)       Two  consumption  goods and ,  and  one  production  input (labour).

(ii)       One consumer with utility function 1(1, 1, 1) = ln () , where

1, 1, 1  are the quantity of and consumed and the quantity of

labour supplied by the consumer each day.

2                                        1

(iii)      Two producers with production functions = and = , where

and are,  respectively,  the  quantity  of  labour  used  in  the production of and each day.

(iv)      Endowments: ̅1  = 1  = 1  = 0 .

The consumer chooses freely how much labour to supply each day. This labour is then used in the production of and in quantities and , respectively. Derive the condition corresponding to overall efficiency for Pareto optimality in the above economy. Show that the following condition must be satisfied in a Pareto optimal allocation:

1 2

31 = 41

Finally,  investigate whether the condition above is satisfied in a general competitive equilibrium.

(b)      Consider the same  economy as  in  (a)  but suppose  instead that

1(1, 1, 1) = ln(1). Derive the general competitive equilibrium quantities of 1, 1 , 1, , and .

(c)      Consider   a   society   with   5000   individuals   and   three   social alternatives = {, , }.  All  individuals  have  rational  and  strict preferences over social alternatives. Consider the four preference relations ≿1, ≿2, ≿3, ≿4   below, where ≻  indicates strict preference.

≿1:

≿2:

≿3:

≿4:

≻1 ≻1

≻2 ≻2

≻3 ≻3

≻4 ≻4

3000 individuals have preferences given by the preference relation ≿1 ,  1000  individuals  have  preferences  given  by  the  preference relation   ≿2 ,   900   individuals   have   preferences   given   by   the preference relation ≿3 , and 100 individuals have preferences given by the preference relation ≿4 .

Find the social preference relations selected by the majority rule and     Borda     count     and     determine     whether     they     are transitive/quasitransitive.  Finally,  use  the  preferences  above  to demonstrate that Borda count violates Independence of Irrelevant Alternatives.

(d)      Suppose there  are four schools 1, 2, 3, 4   with  capacities 1   =

2   = 3   = 4   = 1 and  five  children 1, 2, 3, 4, 5 .  The  priorities, preferences   and   capacities   are   given   in   the   table   below.

Assume  that  all  children  report  their true  preferences.  Use the Immediate Acceptance mechanism to find a matching. Explain why this matching is/isn’t Pareto efficient.

(e)      Using  the  same  priorities,  preferences  and  capacities  as  in  (d),

show that some child can benefit from reporting false preferences. Would the resulting matching still be Pareto efficient? Explain.

SECTION B

3.

(a)

(i)      Explain  the  axiom  of  substitution  in  the  context  of  expected  utility representation.

(ii)     Suppose now that y is a random variable with a continuous probability

distribution function f (y)  over the closed interval [a,b] . Let f (y)  be a concave   function.   Express   a   risk-averse   decision-maker’s   utility specification in terms of Jensen’s inequality.

(b)       What is a risk premium? Suppose a decision-maker has a certain

income y . Show that her risk premium r can be expressed as

1 u//(y)   2

2 u/ (y)

Where 2 denotes   the   variance   of   a   prospect.   Explore   the relationship between r and the individual’s degree of risk aversion. Clearly  explain  and  illustrate  how  you  can  show  the  certainty equivalent   income  and  the   magnitude  of  risk   premium   in  an indifference curve diagram for all risk categories.

(c)      In   the   Rothschild-Stiglitz   insurance   market   model   with   adverse selection where there are two types of individuals: Type A and Type B, with the following data:

Initial wealth y = 10 (e.g. £10K, same for both types)

Loss z if an accident happens, z = 5 (same for both types)

Accident probabilities: A 0.5, B 0.9

The proportion of Type A individuals in the population is = 0.6

Utility functions:

o  Type A: u(x) ln x, > 0

o  Type B: v(x) ln x, > 0 .

(i)       Show that the  utility functions u(x) and v(x) can  be considered as linear  transformations  of  one  another.  Show  that  the  indifference

curves of the two types intersect one another on the certainty line. Find which type has the steeper indifference curve.

(ii)       Suppose that the  insurance firm can fully ascertain the  individual’s

type. Determine the set of equilibrium insurance contracts, specifying the amount of cover and the  premium  rates, offered to each type. Show your result in a diagram clearly labelling all relevant values.

(iii)      If  the  insurance  company  could  not  ascertain  the  individual’s  risk

category,   explain   the   consequence   of   offering   the   above   full information contracts.

(iv)      Consider a separating equilibrium.

Write down the incentive constraints that must be satisfied if the insurance firms want to induce separating equilibrium.

Specify a possible set of (equilibrium) separating contracts. Clearly show your results in a diagram.

(v)       Now consider a pooling equilibrium.

Find the slope of the pooled budget line.

Explain why the pooled budget line can at most be tangent to the Type A agent’s indifference curve passing through their separating contract for a competitive equilibrium to exist.

4.

(a)      Consider Lori who faces the problem of buying an insurance cover, q,

at an actuarially fair  premium  rate p, 0  < p < 1, in an incomplete market where there are two sources of income  risks:  insurable and non-insurable. Let L denote the loss associated with the insurable risk, and D denote the loss associated with the uninsurable risk. There are four possible states that Lori can face (given below), with the probability

4

of occurrence of each state beingi , i 1,.., 4; i 1 .

i1

-      State s1 : the no accident state  (1 )

-      State s2 : where only the uninsurable loss D occurs (2 )

-      State s3  : where only the insurable loss L occurs (3 )

-      State s4 : where both types of losses L and D can occur (4 )

Let xi , i 1, 2,3, 4  denote Lori’s income in state si with her initial endowment income being x. Lori’s utility function is:

u(x) ln a x a 0

Show that, when risks are perfectly negatively correlated, Lori buys positive cover if and only if L > D whereas she buys zero cover if D L .

(b)      Consider a standard model of an insurance contract in a competitive

market with moral hazard (as we have discussed in the lecture). Jill’s probability of accident happening is a continuous function of her effort level e with (e)/ 0 and (e)// 0 . Jill has the following utility function,

separable in income and effort: u(y, e) v(y) g(e); with v (y) 0,v/ // (y) 0; g (e) 0,/  and g// 0