Problem 1.  (20p) (Brownian Motion and Time Inversion)

Let (Ω , F, P) be a probability space and let Bt , for s > 0, be a Brownian motion.

(i)  (5p+5p=10p)

Show that

CОu(Bs , Bt ) = min(s, r),

and that

CОoo(Bs , Bt ) = ì  .

(Hint: Use the properties in the definition of the Brownian motion.)

(ii)  (10p)

Show that the following process defined via time inversion

Wt  = │0   

『 sB 

if s = 0

if s  0

is also a Brownian motion.

(Hint: Show the three properties from one of the definitions of the Brownian motion, use the first result from (i) above.)

Answer:

Problem 2.  (20p) (Maximum of Brownian Motion)

Let (Ω , F, P) be a probability space and define

MT  = max Bt

t←|d,T当

where Bt , for s > 0, is a Brownian motion.  Then for all T > 0, show using the reflection principle, that

(i)  (10p)

where Φ is the standard normal cdf;

(ii)  (10p) and that the joint probability density function of (MT , BT ) is

/4/a]x)   ] 甘(|) 4 甘〉)甘        a > 0, z s a

『 0                           otherwise

Hint: Reflection Principle

Let ra  = inf {s > 0 : Bt  = a}, then

P(ra  s T, BT  s z) = P(ra  s T, BT  > 2a - z)

Answer:

(1)

(2)

Problem 3.  (20p) (Ito’s Integrals)

Let (Ω , F, P) be a probability space and let {Wt  : s > 0} be a standard Wiener process.

(i)  (10p) Compute the integral and explain what is the distribution of it

(dt dWs .

Hint: Use the definition of Ito’s integral.

(ii)  (10p) Using integration by parts, show that

(dt Ws dr = (dt (s - r)dWs

and prove that

E ┌(dt Ws dr┐ = 0 and E ┌ ╱(dt Ws dr、/ ┐ =  .

Hint: The integration by parts formula is given by

( t ╱ 、dr = tu - ( u ╱ 、dr.

Answer:

Problem 4 (20p) (Digital Option - Probabilistic Approach)

Let {Wt  : s > 0} be a P-standard Wiener process on the probability space (Ω , F, P) and let

the stock price st  follow a GBM with the following SDE

dst  = st uds + st adWt ,

where u is the drift parameter, a > 0 is the volatility parameter, and let o > 0 denote the risk-free interest rate.

A digital (or cash-or-nothing) call option is a contract that pays $1 at expiry time T if the spot price sT  > K and nothing if sT  s K .

(i)  (7p) Find an equivalent martingale measure Q under which the discounted stock price e]rt st  is a martingale (discuss why this is a martingale).

(ii)  (7p) By denoting Cd (st , s; K, T) as the digital call and put option prices, at time s,

for s < T show that

Cd (st , s; K, T) = e]r4T ]t)Q (sT  > K | Ft )

(iii)  (6p) Using Ito lemma find the distribution of sT  given Ft  under Q, and show, using

the risk-neutral valuation approach from (i) and (ii) above, that

Cd (st , s; K, T) = e]r4T ]t)Φ(d] )

where

d]  =  and Φ(z) =  (]x_ e] 甘(|)u甘 dt.

Answer: