Problem 1.  (20p) (Brownian Motion and Time Reversal)

Let (Ω , F, P) be a probability space and let Bt , for t > 0, be a Brownian motion.

(i)  (5p+5p=10p) Show that

Cov(Bs , Bt ) = min(t, s),

and that

Corr(Bs , Bt ) = 《  .

(Hint: Use the properties in the definition of the Brownian motion.)

(ii)  (10p) Show that the following process defined via time reversion

Wt  = B| _ B| ￥ t

is also a standard Brownian motion.

(Hint: Show the three properties from one of the definitions of the Brownian motion, use the first result from (i) above.)

Problem 2.  (20p) (Minimum of Brownian Motion)

Let (Ω , F, P) be a probability space and define

MT  = max Bt

t桂卜1,Ti

where Bt , for t > 0, is a Brownian motion. In the Practice Final Exam you showed, using the reflection principle, that for all T > 0

,)))Φ(  !T(x)) _ Φ( x￥!a ) P(MT  < a, BT  < x) = (Φ(  !T(a)) _ Φ(_  !T(a))

)

)

),0

a > 0, x < a

a > 0, x > a

a < 0

(1)

where Φ is the standard normal cdf;  and that the joint probability density function of (MT , BT ) is

,

(

Now, define

T(2|)!2π(2a￥) e ￥ 达(|) | 达幺 0达

0

a > 0, x < a

otherwise

(2)

mT  =  min Bt

t桂卜1,Ti

where Bt , for t > 0, is a Brownian motion, and modify your argument to show that for all T > 0,

(i)  (10p)

,)))Φ(_  !T(x)) _ Φ(_ x￥!b ) P(mT  > b, BT  > x) = (Φ(_  !(b)T ) _ Φ(  !(b)T )

)

)

),0

b < 0, b < x

b < 0, b > x

b > 0

(3)

(ii)  (10p) the joint probability density of (mT , BT ) is

fmr,Br (b, x) = ( T!2πT   e

,0

b < 0, b < x

otherwise

(4)

Hints:

●

mT  =  min Bt  = _ max (_Bt )

t桂卜1,Ti                    t桂卜1,Ti

● the Reflection Principle gives us that for τa  = inf {t > 0 : Bt  = a} we have P(τa  < T, BT  < x) = P(τa  < T, BT  > 2a _ x)

Problem 3.  (20p) (Ito’s Integrals)

Let (Ω , F, P) be a probability space and let {Wt  : t > 0} be a standard Wiener process.

(i)  (10p) Compute the integral

.1 t 2Ws dWs .

Hint: Use the Ito’s lemma or the definition of Ito’s integral.

(ii)  (10p) Using integration by parts, show that

.1 t Ws ds = .1 t (t _ s)dWs

and prove that

E ┌.1 t Ws ds┐ = 0 and E ┌ ╱.1 t Ws ds、2 ┐ =  .

Hint: The integration by parts formula is given by

. u ╱ 、ds = uv _ . v ╱ 、ds.

Problem 4 (20p) (Digital Option - Probabilistic Approach)

Let {Wt  : t > 0} be a P-standard Wiener process on the probability space (Ω , F, P) and let the stock price St  follow a GBM with the following SDE

dSt  = St µdt + St σdWt ,

where µ is the drift parameter, σ > 0 is the volatility parameter, and let r > 0 denote the risk-free interest rate.

A digital (or cash-or-nothing) call option is a contract that pays $1 at expiry time T if the spot price ST  > K and nothing if ST  < K.  In contrast, a digital (or cash-or-nothing) put pays $1 at expiry time T if the spot price ST  < K and nothing if ST  > K .

(i)  (5p) Find an equivalent martingale measure Q under which the discounted stock price e ￥ rt St  is a martingale (discuss why this is a martingale).

(ii)  (5p) By denoting Cd (St , t; K, T) and Pd (St , t; K, T) as the digital call and put option

prices, respectively at time t, for t < T show that

Cd (St , t; K, T) = e ￥ r|T ￥ t0Q (ST  > K | Ft )

and

Pd (St , t; K, T) = e ￥ r|T ￥ t0Q (ST  < K | Ft ) .

(iii)  (5p) Using Ito lemma find the distribution of ST  given Ft  under Q, and show, using

the risk-neutral valuation approach from (i) and (ii) above, that

Cd (St , t; K, T) = e ￥ r|T ￥ t0Φ(d ￥ )   and   Pd (St , t; K, T) = e ￥ r|T ￥ t0Φ(_d ￥ ),

where

d ￥  =  and Φ(x) =  .￥x& e ￥ 达(|)u达 du.

(iv)  (5p) Verify that the put-call parity for a digital option is

Cd (St , t; K, T) + Pd (St , t; K, T) = e ￥ r|T ￥ t0 .