Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

EC2200

2019/20

Mathematical Economics 1A

1.  It’s the 2021 Champions League final and it’s all going to be decided by the last penalty shot: Barcelona’s Lionel Messi shooting against Liverpool’s Alisson Becker. Messi and Alisson have to decide - simultaneously - where to shoot and dive, respectively. If they both go for the      same side, Alisson has a chance to catch the ball, but less so on the right, as Messi’s shots    are stronger on that side. If they choose different sides, Messi scores. So, suppose the game  is described by the following Normal Form2 :

Alisson

Left    Right

.5, .5

1, 0

1, 0

.6, .4

 

(a)  Find all Nash Equilibria, and their associated payoffs for each player.   (15 marks)

(b)  Suppose the game was infinitely repeated, with the common discount factor δ { (0, 1).

Find all SPNEs.   (10 marks)

Let’s return to the one-shot game - no more infinite repetition. Suppose now that Messi

may have recently injected himself with a rare leg mutagen, which would have switched

his strong foot!  If he took the mutagen, the payoff matrix is now

Alisson

Left    Right

.6, .4

1, 0

1, 0

.5, .5

Figure 1: Payoffs with mutagen

Messi knows whether he’s taken the mutagen, but Alisson does not. The common prior

puts probability p = .2 on Messi having taken the mutagen.

(c)  Find all Bayes-Nash equilibria.   (10 marks)

Now, instead of there being an exogenous probability of Messi taking the mutagen, he gets to decide whether to do so. His choice is still unobservable to Alisson. Following this, he and Alisson simultaneously choose where to shoot and dive, like before.

(d)  What are Messi’s and Alisson’s pure strategy sets?  Draw the game in extensive form.

(8 marks)

(e)  Find all PBEs. (7 marks)

 

2.  Monica is looking to lease her flat on AirBnB. She gets to choose any price p { [0, 1], and then a customer will appear, observe the price, and either rent her flat at that price or go  away. Suppose that the customer has a type θ known to him but which is unknown to       Monica, with the common prior being that θ is uniform on [0, 1].3  The customer’s utility is given by

uc (θ, p, Rent) = θ < p

uc (θ, p, No) = 0.

(a)  For a given price p, which customers rent?   (10 marks)

(b)  For a given price p, what is the probability the customer rents the flat?   (10 marks)

Monica now gets to set the price, after which the customer arrives and decides whether

to rent the flat at that price, given his type.  Monica gets 0 utility when the flat is not rented, and p when it is rented at price p.

(c)  Find all PBEs. [You don’t have to specify beliefs for this one; but take care when specifying strategies]  (15 marks)

Now suppose that Monica’s flat has a quality q { (0, 1} that follows the common prior P (q = 1) = P(q = 0) = , and is known to Monica but not the customer. Monica’s    utility is the same as above, and therefore does not depend on q directly. The              customer’s utility is now

uc (θ, q, p, Rent) = θ + q < p

uc (θ, q, p, No) = 0.

(d)  Find all prices that can occur in a pooling PBE.  (8 marks)

(e)  Find all price pairs that can occur in a separating PBE.  (7 marks)

  

3. Annabelle and Bart, two penguins, notice a fish swimming near them. Each of them is hungry, but if they both go for the fish they’ll bonk their heads and the fish will get away. Suppose     that the normal-form game describing their interaction is


Attack Stay

 

Find all Nash Equilibria of this game.


Bart

Attack    Stay

 

<2 <2

2, 0

0, 2

0, 0

 

(10 marks)


Suppose that the game is sequential: first, Annabelle makes her choice, then Bart

observes it and gets to act.

(b)  Draw the game tree. Find all pure NEs and all SPNEs.   (15 marks)

Assume the game is simultaneous again. Suppose now that each penguin has a variable

degree of hunger. Annabelle and Bart each draw a type θA , θB  each from (1, 3}. The     common prior is that the types are identically and independently distributed according to a common prior which puts probability  on type 1 and  on type 3. Now, catching the  fish (i.e. attacking when the opponent stays) is worth utility equal to one’s own type. All other outcomes have their utilities unchanged.

(c)  Find the symmetric Bayes-Nash equilibrium.   (10 marks)

Let’s do away with independence. Suppose the common prior is that θA , θB  are jointly distributed according to the joint pmf P (θA  = θB  = 1) = P(θA  = θB  = 3) = 1/3 and P (θA  = 1 and θB  = 3) = P(θA  = 3 and θB  = 1) = 1/6.

(d)  Find the symmetric BNE.  (8 marks)

Let’s bring independence back. Suppose that θA  and θB  are identically and independently distributed, each with pdf f and cdf F with support on [1, 3].

(e)  Prove a unique symmetric BNE exists and characterize it (this may be in terms of an

implicit expression).   (7 marks)