1.     (a)  Let X = (Xt )t>0  be a continuous-time stochastic process. Define the quadratic variation [X]t  of X at time t 2 0.

(b) Suppose that X is the deterministic process Xt  = et , t 2 0. Show, using the definition in (a), that [X]t  = 0 for any t 2 0.  (You may quote that 0 < ex  - ey  < ex (x - y) for x 2 y.)

(c)  Let X now be an Itˆo process

t                          t

Xt  = X0 +      µu du +      σu dWu ,    t 2 0,

0                        0

where W = (Wt )t>0  is a standard Brownian motion, and let (t, x) 1- f (t, x) be once continuously differentiable in t and twice continuously differentiable in x.   State Itˆo’s formula for f (t, Xt ) for any t 2 0 starting from f (0, X0 ). Specify also the type of each integral appearing in the formula.

(d) Suppose that X satisfies a stochastic differential equation

dXt  = cos(Xt )dWt ,    t 2 0,

where W is a standard Brownian motion. Show that Yt  := Xt(2) , t 2 0, is an Itˆo process and determine [Y]t  for any t 2 0.

2.     (a)  Let ～1 , . . . , ～T   be d-dimensional (d 2 2) iid random vectors.  Show that the sample

covariance matrix

T

Σd,T  :=        ╱～t - ～、╱～t - ～、/ ,

t=1

where ～ :=       ～t  is the sample mean vector, is invertible only if T 2 d.              (b)  Let X be a random variable with moment generating function (mgf) ϕX (t) := r[etX ],

t e 冈. Show that                            o               

ϕX (t) = t       ut-1 FX (log u)du,    t > 0,

0

where FX  is the cdf of X and FX (x) := 1 - F (x).

(c)  Keeping the notation of (b), suppose that X follows now the Pareto distribution with tail index α > 0 and scale κ > 0, so that

FX (x) = 

Determine for which t e 冈 the mgf ϕX (t) is finite.  μψ≠1妓  For t > 0, it is useful to note that u 1- FX (log u) is slowly varying.